4. Формы представления чисел в эвм
Число как объект
характеризуется своим значением и часто
с ним отождествляется. Множество значений
рассматривается как значение числовой
переменной X.
Для записи значений этой переменной
используются различные формы. Так в ЭВМ
применяют две формы представления
чисел: с
фиксированной
запятой (точкой) (ЧФЗ)
и с плавающей
запятой (точкой) (ЧПЗ).
Эти формы называют также соответственно
естественной и полулогарифмической.
В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов упрощается определение знака результата операции. Операция вычитания (или алгебраического сложения) сводится к арифметическому сложению кодов, облегчается выработка признаков переполнения разрядной сетки. В результате упрощаются устройства ЭВМ, выполняющие арифметические операции.
Для представления чисел со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.
Общая идея построения кодов такова. Код трактуется как число без знака, а диапазон представляемых кодами чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них представляет положительные числа, а другой - отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально просто. Очень удобно формировать коды так, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел. Использование такого кодирования позволяет говорить о старшем разряде как о знаковом и об остальных как о цифровых разрядах кода.
В ЭВМ любая информация представляется в виде двоичных кодов (слов) фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Слова часто разбивают на слоги, называемые байтами (8 бит).
Двоичный разряд представляется в ЦВМ некоторым устройством, имеющим два устойчивых состояния, например триггером. Набор соответствующего количества таких устройств служит для представления многоразрядного двоичного числа (слова).
4.1. Числа с фиксированной запятой
Первые ЭВМ были машинами с фиксированной запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом. В настоящее время, форму ЧФЗ, как правило, применяют для представления целых чисел (запятая фиксируется после младшего разряда). По сложившейся традиции, нумерация разрядов в разрядной сетке машин общего назначения ведется слева направо, а в малых ЭВМ, микро-ЭВМ и микропроцессорах – справа налево. Представление чисел с фиксированной точкой используется как основное и единственное лишь в сравнительно небольших по своим вычислительным возможностям машинах, применяемых в системах передачи данных, для управления технологическими процессами и обработки измерительной информации в реальном масштабе времени.
Пусть общее количество разрядов, отведенное на представление цифр, равно n из них k разрядов используется для представления целой части числа, а оставшиеся (n – k) – на представление дробной части. Кроме того, еще один разряд отводится на представление знака числа. Обычно под знак отводится крайний левый разряд, которому присваивается нулевой номер. Положительный знак кодируется нулем, а отрицательный – числом S – 1 (в двоичной системе счисления это единица). Тогда разрядная сетка для представления числа с фиксированной запятой будет иметь вид, изображенный на рисунке 4.1.
|
Степени основания системы счисления |
||||||||
z |
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
Номера разрядов |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
… |
k-1 |
k |
k+1 |
… |
n – 1 |
n |
Рисунок 4.1.
В таблице 4.1. приведены диапазоны представления десятичных чисел 8-, 16- и 32- разрядными двоичными числами.
Таблица 4.1.
N |
8 |
16 |
32 |
Xmax |
127 |
32767 |
109 |
Xmin |
–128 |
–32768 |
–109 |
При решении расчетных задач на ЭВМ с фиксированной точкой, для предотвращения переполнения разрядной сетки при подготовке задач к решению на ЭВМ приходится вводить масштабные коэффициенты, которые не позволяют числам, участвующим в решении, и результатам превышать по модулю максимальное машинное число.
В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное и единственное лишь в сравнительно небольших по своим вычислительным возможностям машинах. Подобные ЭВМ применяют в системах передачи данных, для управления технологическими процессами, для обработки измерительной информации в реальном масштабе времени, для построения кодирующих и декодирующих устройств в каналах связи. В ЭВМ общего назначения основным является представление чисел с плавающей запятой.