Интерпретация термов

Роль термов в языке логики предикатов PrLсостоит в том, чтобы описывать имена объектов из предметной областиD. Однако, сами по себе термы - просто строчки символов и ничего не выражают, пока не определена семантика языка, т.е. интерпретация символов. Для любогоn-местного функционального символа интерпретацияI_F отображает множествоDⁿ вD, т.е.

I_F:DⁿD. Очевидно, можно говорить только об интерпретации постоянных термов. Действительно, если надо определить интерпретацию lg (Sin(x)), сразу же встает вопрос, а что такое х. Поэтому интерпретация формул состоит из интерпретации всех термов, начиная с тех, которые имеют наибольшую глубину вложения.

Интерпретация формул

Если задана сигнатура , предметная областьDи функция интерпретацииI, то говорят, что заданаалгебраическая система сигнатурыи обозначают это как упорядоченную тройку (D,,I). Если сигнатура не содержит функциональных символов, то алгебраическая система сигнатуры называетсямоделью. Интерпретацией формулы в данной модели называется пара (D, I), где I - отображение, видаI_R:Dⁿ{0,1}, которое ставит в соответствие каждой упорядоченной n - ке объектов изDлогическое значение 0-ложь или 1 - истина. В выбранной интерпретации всякая замкнутая формула является одним из способов выражения истинностного значения этой формулы, а всякая незамкнутая формула определяет логическую функцию от свободных переменных. Логическое значение формулы А в интерпретацииIобозначаетсяI[A]. Для постоянной формулы это 0 или 1, для формулы, содержащей свободные вхождения переменных - вектор, элементами которого являются 0 и 1, а длина зависит от числа различных наборов значений свободных переменных в данной предметной области и от числа постоянных атомных подформул в составе формулы.

Интерпретация атомных формул

Логическое значение постоянной формулы может быть определено как 0 или 1 (ложь или истина) в данной модели. В случае параметрических формул функция интерпретации определяет значение формулы на каждом из возможных наборов значений переменных в предметной области. Если |D| - мощность предметной области,n- местность предикатного символа, то число различных наборов значений переменных равно числу размещений с повторениями из |D| элементов поn, т.е.|D|ⁿ=p. Так как на каждом наборе значений переменных функция интерпретации может принимать одно из двух значений (0 или 1), то число различных интерпретаций предикатного символа равно 2^р. Соответственно, интерпретация задается парой (D,I_s), гдеI_s- выбранная функция интерпретации

Пример 1.Пусть предметной областью является множество натуральных чиселN, и сигнатура содержит единственный предикатный символ: «(х - простое число)».

 Таблица функции интерпретации бесконечна, фрагмент ее приведен в Табл. 1. 

Таблица 1

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
I(x)	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0

Пример 2. Указать значения 0-местного предиката на любой предметной области.

 Пусть D-предметная область, на которой задан 0-местный предикатr, т.е.I_R:D ⁰{0,1}. По определениюD⁰=. Поэтому на всей предметной области значение предиката одинаково и равно 0 или 1, а 0-местный предикат есть просто константа.

Пример 3.Определить таблицы истинности всех 2-местных предикатов A(x,y) на предметной области D ={1,2}.

 Пара переменных (х,у) в данной предметной области принимает 2²=4 набора значений, которым соответствуют четыре строки Табл.2. На каждом наборе значений переменных функция интерпретации определяет логическое значение предиката как 0 или 1. Полное число функций интерпретации равно 2⁴=16. Каждый столбец Табл. 2 определяет один из 16 возможных предикатов. При принятом способе записи функций I_j(x,y) индекс j равен номеру двоичного набора j -го столбца, старший разряд которого находится в верхней строке таблицы. Конкретный предикат может быть задан указанием интерпретирующей функции. Например, Р(х,у)=I₁₁(x,y)=(1011).



Таблица 2

x	y	I0	I1	I2	...	I7	I8	I9	...	I14	I15
0	0	0	0	0	...	0	1	1	...	1	1
0	1	0	0	0	...	1	0	0	...	1	1
1	0	0	0	1	...	1	0	0	...	1	1
1	1	0	1	0	...	1	0	1	...	0	1

Пример 4. Пусть D={1}. Найти множество значений предикатов произвольной местности.

 В одноэлементной предметной области при любой местности n предиката набор значений переменных фиксирован и содержит одни единицы. В этом случае возможны два различных значения предикатов, приведенные в Табл.3. 

Таблица 3

x1 x2 ... xn	I0(n)	I1(n)
1 1 ... 1	0	1

Пример 5. Задать все возможные одноместные предикаты на трехэлементной предметной областиD={1,2,3}. Сколько различных двуместных предикатов существует в данном случае?

 В одноместном предикате число различных наборов значений переменных равно 3. Следовательно, число различных интерпретаций равно 2³=8. Они представлены в Табл.4.

Таблица 4

x	I0	I1	I2	I3	I4	I5	I 6	I7
1	0	0	0	0	1	1	1	1
2	0	0	1	1	0	0	1	1
3	0	1	0	1	0	1	0	1

Число 2-местных предикатов в данном случае определим следующими рассуждениями: число различных наборов значений переменных длины 2 , равное числу размещений с повторениями из 3-х элементов по 2, равно 3²=9, а число возможных различных интерпретаций 2-местного предикатного символа - 2⁹ =512. Например, Р(х,у)=I₄₉₇=(111110001). 