16

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Тверской Государственный Технический Университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Методические указания по курсу лекций

для студентов второго курса специальности 22.01- вычислительные машины, комплексы, системы и сети

Тверь 2003

Настоящие методические указания предназначены для изучения основ математической логики в части логики предикатов, исчисления высказываний и исчисления предикатов. В нем также даны основные определения формальных систем. Логика высказываний и логика предикатов рассматриваются как примеры формальных систем. Конспект лекций предназначен для студентов специальности 22.01 – ВМКСС «Электронные вычислительные машины, комплексы, системы и сети», изучающих дисциплину «Математическая логика и теория алгоритмов», а также может использоваться в качестве учебного пособия при изучении курса «Системы искусственного интеллекта».

Автор и составитель – доцент кафедры ЭВМ к.т.н. Асеева Т.В.

 Тверской государственный технический университет, 2003

Формальные модели 4

Логика высказываний 4

Метод резолюции 6

Формулировка исчисления высказываний 7

Понятие семантики в логике высказываний 9

Означивания и истинностные означивания 9

Семантические таблицы 9

Аксиоматическая система вывода 11

Метод резолюций 12

Корректность и полнота исчисления высказываний 14

Разрешимость и полнота исчисления высказываний 14

Корректность и полнота метода семантических таблиц 14

Корректность и полнота аксиоматической системы вывода 15

Алгебраические системы 16

Логика предикатов 17

Исходные символы языка логики предикатов 17

Термы и формулы 18

Интерпретация в PrL 18

Интерпретация термов 19

Интерпретация формул 19

Подстановка термов в формулы 23

Аксиоматические основания логики предикатов 24

Общезначимые эквивалентности логики предикатов 26

Предваренная нормальная форма 27

Метод семантических таблиц 27

Построение замкнутых семантических таблиц 29

Сколемовская нормальная форма 30

Теоретико-множественное представление -формул 30

Эрбрановские интерпретации 31

Семантические деревья 32

Исчисления предикатов 35

Выводы в естественной дедуктивной системе 35

Определение схем (правил) вывода для ИПС 35

Унификация и резолюция в логике предикатов 37

Унификация: неформальное описание 37

Унификация: формальное описание 38

Метод резолюций для PrL 40

Клаузальная форма (форма предположений) 40

Корректность и полнота исчислений логики предикатов 43

Корректность и полнота исчисления резолюций 43

Корректность и полнота метода семантических таблиц 43

Проблема разрешимости логики предикатов 43

Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов 44

Теоремы ограничения в формальных системах 44

Список рекомендуемой литературы 45

Формальные модели

Формальные модели, позволяют адекватно отображать разнообразные предметные области и операции, применяемые при манипулировании с данными. Методология таких моделей разрабатывается в формальных системах. Математическая логика - одна из наиболее разработанных формальных систем, ее методы успешно применяются для описания и решения задач в Прологе.

В формальной логике разрабатываются методы правильных рассуждений, представляющих собой цепь умозаключений в логически последовательной форме. Рассуждения в ней изучаются с точки зрения формы, а не смысла.

Например, докажем теорему: «Для того, чтобы сепульки не были хроничны и не бифуркальны одновременно, необходимо и достаточно, чтобы они были не хроничны или не бифуркальны». Эта теорема имеет формальную схему: (xy)  (x&y). Легко видеть, что посылка и заключение импликации эквивалентны, следовательно, утверждение является тавтологией. Таким образом, для доказательства этой теоремы не нужно ничего знать о сепульках и их свойствах.

Отвлечение от содержания предложений языка в формальной логике есть результат применения операции абстрагирования к рассуждениям естественного языка. Абстрагирование широко используется в науке для выборочного исследования некоторых аспектов исследуемой проблемы. Современная парадигма научного исследования состоит в том, что формальное изучение любой проблемы начинается с замены реальных объектов их абстрактными представлениями, выбираемыми таким образом, чтобы в этих идеализациях были отражены именно те свойства исходных объектов, которые мы хотим изучать. Абстрагирование позволяет строить формальные модели понятий, процессов и явлений реального мира и далее изучать их с помощью формальных же средств. Именно на основе научного подхода к решению инженерных проблем получено бессчетное число впечатляющих результатов в технике, в связи с чем давно укоренилась поговорка «Нет ничего практичнее хорошей теории».

Одна из задач формальной логики - выявление неоднозначностей и изучение отдельных этапов рассуждений или выводов, когда строго шаг за шагом доказывается их правильность независимо от используемой интерпретации.

Формальная система представляет собой совокупность чисто абстрактных объектов (не связанных с внешним миром), в которой представлены правила оперирования множеством символов в чисто синтаксической трактовке без учета смыслового содержания. Формальная система определена, если:

• Задан конечный алфавит.

• Определена процедура построения формул.

• Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами.

• Задано конечное множество правил вывода, которые позволяют получать новые формулы из уже имеющихся формул и аксиом.

Формальное доказательство определяется как конечная последовательность формул, в которой каждая следующая формула является либо аксиомой, либо получена из других формул с помощью правил вывода. Формула называется теоремой, если существует доказательство, в котором она является последней. В частности, всякая аксиома является теоремой. Если формула Т является теоремой, это обозначают: ├Т.

Множество формул формальной системы вместе с множеством аксиом и правил вывода образуют формальный язык. Формальный язык отличается от естественного тем, что его конструкции строятся по строго определенным правилам и не допускают двусмысленного толкования.