Исчисления предикатов Выводы в естественной дедуктивной системе

Название «естественная дедуктивная система» введено для того, чтобы отличить ее от системы выводов на основе резолюций. Это основная система выводов в логике предикатов, в которой функционируют как единое целое группы правил вывода и логические аксиомы. В системе с малым числом правил вывода обычно имеется большое число логических аксиом и наоборот. Рассмотрим систему исчисления секвенций (Logische Kalkul), создателем которой является Г. Генцен. В этой системе логические аксиомы формализованы, а логические действия не выполняются. Вместо них используется большое число правил вывода, которые представляют собой стройную систему, подходящую для проведения обратного вывода.

Мы рассмотрели алфавит, содержащий сигнатурные символы отношений и операций, символ равенства, связки и символы кванторов, знаки для предметных переменных, скобки и запятую. Некоторые последовательности символов этого алфавита мы назвали формулами и термами: термы задают операции, формулы - отношения на несущем множестве рассматриваемой алгебраической системы. Нашей ближайшей целью будет описание механизма, который порождает все тождественно истинные формулы.

Как и в исчислении высказываний, мы будем рассматривать кроме формул называемые секвенциями выражения вида Г |- A, где |- - символ секвенции, Г - последовательность формул, которая может быть и пустой, A - формула.

Формула A будет пониматься как формула сигнатуры S, терм t - терм сигнатуры S. Пусть фиксирована сигнатура S. Далее буквы: x, y, z – предметные переменные, t, r, s – термы. Использование формулы в правилах вывода и доказательствах будет предполагать, что формула определена, т.е. известно ее истинностное значение.

Аксиомами называются все секвенции видов:

1. A |- A, где A - формула,

2. |- (х=х), где х - переменная,

3. (х=у), |- , гдеA- такая формула и x, y, z - такие переменные, что иопределены.

Определение схем (правил) вывода для ипс

Понятия и обозначения сигнатуры, терма, свободной и связанной переменной, предложения определяются как в логике предикатов. Алфавит ИПС определяется алфавитом логики предикатов, к которому добавлен символ |. Понятие секвенции и вывода определяются аналогично определениям этих понятий в ИС. К пятнадцати правилам вывода ИС добавляется четыре правила вывода, определяющие действия с кванторами.

Названия правил классифицируются по положению стрелки. Например, ( |- ) означает введение импликации в правой части заключительной секвенции правила вывода. Давать имена правилам вывода с помощью символа секвенции |- и функции из множества {&,.,.,} предложил С. Клини [3].

В правиле вывода из секвенции, записанной над чертой, выводится секвенция, записанная под чертой. Т.е. если истинна верхняя секвенция, то истинна и нижняя секвенция. В исчислении предикатов справедливы все правила вывода, сформулированные в исчислении высказываний. К ним добавляются новые правила, которые можно разделить на три группы: логические, структурные и правило сечения. В структурных правилах вывода логические аксиомы не используются. В логических правилах вывода может быть только один логический символ в нижней секвенции. Правила вывода, относящиеся к логическим символам &,,,, не нуждаются в пояснениях, так как соответствуют определениям логических связок. Что касается правил вывода с кванторами, то здесь необходимы пояснения.

Начнем с правил ( |- x) и ( x |-). В этих правилах x – переменная, а t, u – термы. Подстановка не меняет логического значения формулы, если терм свободен для переменной х в формуле. Например, формула x(eq(x,y)) истинна. Пусть терм t=x. Результатом подстановки терма t в формулу будет ложная формула Ex(eq(x,x)).

Рассмотрим теперь правила ( |- ) и ( |-  ). В этих правилах u – переменная, а A(u) – результат подстановки u вместо х. При этом переменная u никогда не появляется в нижней секвенции и называется собственной переменной правила вывода. Это означает, что вторая формула (множество формул), рассмотренная в правилах, является постоянной по переменной х.

Возможные нарушения при определении собственной переменной. Правило вывода

A(u),  |- 

xA(x),  |- 

основано на теореме: |= (АВ), то |= (х А(х)  В).

В этой теореме А свободно зависит от переменной х, а В не содержит переменную х свободно.

Пусть А(х)  (х=1) и В(х)  (0<х). Пусть далее u - переменная, свободная для х в формулах А и В. Подставляя u в А и В получим истинную секвенцию (u=1) |- (0<u) в верхней части правила вывода. Секвенция же в нижней части правила вывода х (х=1) |- (0<u), очевидно, ложна. Это связано с тем, что нарушено условие приведенной выше теоремы.

Таким образом, если проигнорировать правила определения собственной переменной, то из правила ( |- ) получим:

=(u,1) |-<(0,u)

x (=(x,1)) |- (<(0,u))

где истинна только верхняя секвенция.

Логические правила вывода

Название	Правило вывода	Название	Правило вывода
( |- )	A, |- ,B |-, AB	( |-)	1 |- 1,A; B,2 |- 2 AB,1,2 |- 1,2
( |-  )	|- ,A  |- ,B |- , (AB)  |- , (A  B)	(  |- )	A, |-; B, |-  (AB),  |- 
( |- & )	 |- ,A;  |- ,B  |- , (A&B)	( & |- )	A,  |-  B, |-  (A&B), |-  (A&B), |- 
( |- )	A, |-   |- ,A	( |-)	|- , A A,  |- 
( |- )	 |- , A(t) |- .xA(x)	( |- )	A(u),  |-  xA(x),  |- 
( |-  )	|- ,A(u)  |- , xA(x)	(  |-)	A(t),  |-  xA(x),  |- 

Структурные правила вывода

Название правила	Обозначение правила	Правило вывода	Обозначение правила	Правило вывода
Утончение (Thinning)	( |- T)	 |-  |- ,C	(T |- )	|-  C, |- 
Сокращение (Contradiction)	( |- C)	|- ,C,C  |- ,C	( C |-)	C,C, |-  C, |- 
Перестановка (Interchange)	( |- I)	 |- 1,C,D,2 |- 1,D,C,2	( I |- )	1,D,C,2 |-  1,C,D,2 |- 

Правило сечения: ₁ |- 1,C; C,₂ |- ₂

₁,₂ |- ₁, ₂

Правило (|- ) . Правило ( |- ) – на теореме |= (A(x)B), то |= (x A(x)B). В этих случаях u – переменная, которая не должна появляться в заключении секвенции.

Правило ( |- Е) основано на теореме экзистенциального обобщения: |= (A(x/t)  x A(x)).

Правило ( |-) основано на теореме: |=(BA), то |= (B x A(x)) и означает, что если выводима верхняя секвенция при подстановке постоянного терма t в формулу А, то эта секвенция будет выводима, если А – тавтология.

Для правил вывода, вводящих кванторы, в качестве Г выберем конкретную последовательность формул, которая может быть и пустой. В секвенции (|- ") формулы Г выбраны так, что переменная х не входит ни в одну из них свободно. В секвенции ($ |- ) в качестве , Q выберем такие множества формулы, что х не входит свободно ни в одну из формул, составляющих Г и .

Доказательство истинности секвенций в исчислении предикатов на основании правил вывода может быть представлено прямым или обратным выводом. В первом случае в начале доказательства вводится некоторое количество аксиом, из которых строится доказательство, состоящее в последовательном применении правил вывода, приводящем к цели. В случае обратного вывода дерево доказательства строится снизу вверх. Вершинами его являются секвенции, получаемые на основании аксиом и правил вывода, читаемых «снизу-вверх». Корнем дерева является доказываемая секвенция. Вывод продолжается до тех пор, пока не будут ликвидированы все логические связки. Т.е. листьями дерева являются аксиомы.

Пример 1. Доказать истинность секвенции x(p(x)q(x))), p(a) |- q(a).

Приведем пример прямого доказательства (начиная с аксиом).

p(a) |- p(a); q(a) |- q(a) (аксиомы)

(p(a)q(a)), p(a) |- q(a) ( |- )

x(p(x)  q(x)), p(a) |- q(a) ( |- )

Рисунок 7 Пример доказательства

Пример 2. Доказать истинность секвенции (xp(x)) |- (xp(x)).

Используемо обратное доказательство. Поместим доказываемую секвенцию в корень дерева и применим правила вывода, вводящие кванторы, читая их в направлении снизу вверх.

(x p(x)) |- (x p(x)) (|-)

(x p(x)) |- (p(u)) (|-)

|- (p(u), x p(x)) (|-)

|- (p(u)), p(u)) (|-)

p(u) |- p(u) (аксиома)

Доказательство от корня к листьям является более эффективным, чем от аксиом к доказываемой секвенции, так как существенно уменьшает число возможных выборов правил вывода на каждом шаге. Система Logische Kalkul – это классический пример, когда обратный вывод является более целесообразным с точки зрения уменьшения числа переборов для достижения результата. Другими словами, в отличие от прямого вывода, когда можно применять почти все правила, при обратном выводе возможностей выбора существенно меньше.

Теоремы о кванторах.

1. Пусть x₁, …x_n - попарно различные переменные, y₁, …, y_n – такие отличные от x₁, …x_n переменные, которые попарно различны и не встречаются в формуле A. Следующие секвенции доказуемы:

• x₁x₂…x_n A |- A(x₁/y₁, x₂/y₂,…,x_n/y_n)

• A(x₁/y₁, x₂/y₂,…,x_n/y_n) |- x₁x₂…x_n A.

Т.е. для всех i=переменнаяy_i свободна для переменной x_iв формуле А.

2. Пусть переменные x₁, …x_n попарно различны, а переменные, входящие в термы t₁, …, t_n отличны от x₁, …x_n . Пусть секвенция A₁…A_m |-  доказуема. Тогда секвенция

A₁(x₁/t₁,…x_n/t_n),…,A_m(x₁/t₁,…,x_n/t_n) |- (x₁/t₁,…,x_n/t_n)

также доказуема, если все входящие в эту секвенцию формулы определены.

Множество формул Г сигнатуры S назовем полным, если для любой замкнутой формулы сигнатуры S

Г |- U или Г |- (ØU ). В противном случае Г назовем неполным. [2, p.92]