Корректность и полнота исчисления высказываний Разрешимость и полнота исчисления высказываний

Формулы А и В называются эквивалентными, если доказуемы секвенции А ├ В и В ├ А.

Теорема о полноте исчисления высказываний. Каждая тождественно истинная формула выводима в исчислении высказываний.

Теорема об истинности доказуемых секвенций: Все доказуемые секвенции истинны.

Для каждой формулы ИС существует процедура, позволяющая определить, является ли формула теоремой или нет. Для решения этого вопроса достаточно построить таблицу истинности для этой формулы.

Разрешимость ИС означает существование решения для каждой формулы.

Непротиворечивость ИС означает, что не могут быть одновременно выводимы формула и ее отрицание.

Корректность и полнота метода семантических таблиц

Теорема корректности.

Если высказывание  доказуемо по Бету, то оно логически истинно. Формальная запись:

├ _В   ╞ .

 Согласно определению, высказывание  доказуемо по Бету, если семантическая таблица с помеченной формулой f  в корне является противоречивой, т.е. противоречивы все ее ветви. Если высказывание  не является логически истинным, то найдется истинностное означивание V, для которого V() =f. Семантическая таблица с помеченной формулой f в корне имеет хотя бы одну ветвь , с которой согласовано данное означивание. Однако, в этом случае  не доказуемо по Бету. 

Теорема полноты

Если высказывание  логически истинно, то оно выводимо по Бету. Формальная запись:

╞  ├ _В .

 Если высказывание логически истинно, то для каждого истинностного означиванияVверноV()=t.

Предположим, что вывод по Бету для не существует. Построим замкнутую семантическую таблицу с помеченной формулойfв корне. Эта семантическая таблица должна иметь непротиворечивую ветвь, соответствующую означиваниюV()=f(непротиворечивую ветвь). Это противоречит тому факту, что- логически истинная формула. Следовательно, доказательство по Бету дляобязано существовать.

Построение семантической таблицы для гарантирует, что мы получим либо доказательство, либо контрпример для.

Корректность и полнота аксиоматической системы вывода

Сформулируем теоремы корректности, полноты и компактности аксиоматических методов.

Теорема корректности и полноты

Высказывание  выводимо из множества высказываний S тогда и только тогда, когда  - логическое следствие S. Формальная запись: S ├   S ╞ .

Теорема компактности

Множество высказываний S выполнимо тогда и только тогда, когда выполнимо каждое его конечное подмножество.

Алгебраические системы

Пусть зафиксирована некоторая предметная область, свойства которой мы хотим изучать. Эта область должна представлять собой непустое множество вместе с заданными на нем операциями и отношениями. Эти заданные операции и отношения называются основными.

Чтобы иметь возможность записывать изучаемые свойства, потребуются обозначения (имена) для заданных основных операций и отношений. Например, в арифметике предметная область – это множество N натуральных чисел, основные операции – это безаргументные операции, выделяющие 0 и 1, а также операции сложения и умножения; основное отношение – это отношение порядка. В элементарной геометрии операций обычно не рассматривают, а основные отношения – это отношения равенства, принадлежности, быть точкой, быть прямой, быть плоскостью и т.д.

Из этих примеров видно, что операции и отношения бывают разной местности. Отношение равенства – двуместное, а отношение – быть точкой – одноместное. Вместо термина отношение часто используется термин «предикат».

n-местная операция на множестве А: f⁽ⁿ⁾:Aⁿ  A.

n-местное отношение на множестве А определяется как g⁽ⁿ⁾:A⁽ⁿ⁾{0,1}.

Сигнатурой  называется набор символов операций и отношений вместе с отображением, которое каждому символу приписывает натуральное число, означающее местность этого символа.

Алгебраической системой (структурой, интерпретаций) сигнатуры  называется непустое множество вместе с отображением, которое каждому символу отношения из этой сигнатуры ставит в соответствие отношение той же местности на этом множестве, а каждому символу операции из сигнатуры  ставит в соответствие операцию той же местности на этом множестве. Это фиксированное непустое множество называется обычно основным (несущим) множеством рассматриваемой алгебраической системы.

Пример1Пусть основное (несущее) множество является объединением следующих подмножеств:

1. фамилий преподавателей {A,B,C,D,E};

2. названия предметов {a,l};

3. номеров аудиторий {225,232,234,236};

4. дат в октябре {3,4,5,6,7,8,9,10,11}

5. шифров групп {E1, E2, E3, E4}.

Пусть сигнатура ₁состоит из символов четырехарного отношенияRи трехарного отношения Р.

Рассмотрим алгебраическую систему А1 сигнатуры ₁с указанным выше несущим множеством, в которойPиRинтерпретируются следующим образом. Отношение Р для каждой группы и каждого предмета указывает экзаменатора в этой группе по этому предмету и состоит из троек:

P={(E1, a, A), (E1, l, B), (E2, a, A), (E2, l B), (E3, a, C), (E3, l, D), (E4, a, C), (E4, l, D)}.

Отношение Rдля каждой группы и предмета указывает дату и аудиторию экзамена по этому предмету в этой группе и состоит из четверок:

R={(E1, a, 3, 225), (E2, l, 9, 232), (E2, a, 9, 236), (E2, l, 3, 236), (E3,a, 5, 232), (E3, l, 11, 232), (E4, a, 9, 225), (E4, l, 3, 225)}.

Алгебраическая система А1 описывает расписание экзаменов в рассматриваемых группах.

Пример 2Допустим, что на курсе не более 30 групп, в каждой группе не более 30 экзаменов и 30 студентов, которые как-то пронумерованы, например, в алфавитном порядке. Рассмотрим сигнатуру₂, состоящую из одной трехместной операцииf. Рассмотрим алгебраическую систему А₂сигнатуры₂, несущее множество которой {1,2,3,…,30}, а операцияfзадана следующим образом:

F(I,j,k) – это оценка студентаjв группеigjпо экзаменуk. ЕслиI,j,kне являются элементами соответствующих множеств, тоf(I,j,k)=0.

Понятно, что А₂описывает результаты экзаменационной сессии на курсе.