Аксиоматические основания логики предикатов

Пусть х₁, х₂, ... ,х_n- полный список свободных переменных формулы А.

Через обозначим формулу, в которой все свободные вхождения переменных связаны квантором общности. Такая формула называется замыканием А. Если формула А не содержит свободных переменных, то будем считать, что замыкание А совпадает с А. Заметим, что замыкание формулы является постоянной формулой. Аналогично через _{обозначим формулу x1 … xn A(x1,…,xn).}

Формулу А будем называть общезначимой, если она истинна во всех моделях, т.е. в любой предметной области и в любой интерпретации. При этом замыкание А истинно.

Формула А называется выполнимой, если она истинна в какой-либо интерпретации и в какой-нибудь модели. Таким образом, формула общезначима, если , и выполнима, если . Очевидно, что всякая общезначимая формула выполнима. Обратное не справедливо. Действительно, рассмотрим постоянную формулуF=хуr⁽²⁾(х, у) и две интерпретацииI₁ иI₂, которым соответствуют предметные областиD₁=NиD₂=R(множества натуральных и действительных чисел, соответственно), а сигнатура содержит единственный предикатный символr⁽²⁾, означающий£. В интерпретацииI₁формулаFозначает: «существует наименьшее натуральное число», и она истинна. В интерпретацииI₂формулаFозначает: «существует наименьшее действительное число» - и она ложна. Следовательно, указанная формула выполнима, но не общезначима.

Общезначимая формула А обозначается: ╞ А. Например, ╞ (АА). Если формула А не выполнима ни в какой модели, т.е. ни в какой предметной области и ни в какой интерпретации, она называется противоречием. Например, А&А.

В бескванторных формулах вопрос о логическом значении формулы решается непосредственным использованием правил определения логического значения связок &,,, , . Для формул с кванторами процедура определения логического значения формулы осложняется тем, что предметные переменные имеют в общем случае бесконечные области определения. Поэтому прямой перебор всех значений невозможен и приходится использовать косвенные приемы.

Пример 1.Доказать общезначимость:

╞ (($xP(x))"x(Р(х))).

 Пусть для некоторого предиката Р и предметной области Dлевая часть эквивалентности истинна. Тогда в предметной области не существует ни одного элемента аD, для которогоI[P(a)]=1. Следовательно, для всех аDформула Р(а) ложна. Иначе,I["xùP(x)]=1.Таким образом, левая и правая части эквивалентности истинны, следовательно, формула истинна.

Пусть теперь левая часть эквивалентности ложна. Тогда в предметной области найдется хотя бы одно значение переменной х, равное а, при котором формула Р(а) истинна. Следовательно, отрицание формулы Р(а) будет ложно, и, следовательно,I[xP(x)]= 0. Следовательно, опять имеемI[11]=1.

Следовательно, рассматриваемая формула общезначима. 

Пример 2.Доказать общезначимость ╞ (х (Р₁(х) Р₂(х))(хР₁(х)&хР₂(х))).

 Если I[x(P₁(x) &P₂(x))]=0, то импликация истинна при любом логическом значении заключения импликации. Если жеI[x(P(x)&Q(x))] =1, то импликация истинна только при истинном заключении. Истинность посылки импликации в данном случае означает, что в предметной области найдется хотя бы один элемент аD, на котором обе формулы Р(а) иQ(а) истинны одновременно. Но в этом случае каждая из подформул , входящих в конъюнкцию в заключении импликации окажется истинной, и, следовательно, заключение импликации также будет истинно. Следовательно, и в этом случае импликация истинна. Следовательно, данная формула общезначима.

Для произвольных формул ,,следующие формулы являются аксиомами:

1. ();

2. (())(()());

3. ()();

4. Правило вывода Modus Ponens: ,    ├ .

5. если free (x,t, )¹, то общезначимы следующие формулы:

• ╞(x(x)  (x/t)); (правило универсальной конкретизации)

• ╞( (x/t)  x(x)); (правило экзистенциального обобщения)

• ╞(  (x))  ╞ (  x (x));

• ╞((x)  )  ╞ (x (x)  ).

Следующие формулы выводимы в системе аксиом логики предикатов.