Теоретико-множественное представление-формул

Литерал – это атом или его отрицание.

Предложение – дизъюнкция литералов.

Предваренная нормальная форма – это -формула, матрица которой представлена конъюнкцией литералов. Этому представлению эквивалентно теоретико-множественное представление в виде множества, элементами которого являются множества, число которых равно числу сомножителей в КНФ. Элементами каждого из этих множеств являются все литералы одного из предложений.

Пусть предложение :x₁,…,x_lA(x₁,…,x_l),- формула логики предикатов, где А формула представлена в КНФ видаC₁(x₁,…,x_l)&C_k(x₁,…,x_l), и каждоеC_i, 1ikесть дизъюнкция атомовPrLили их отрицаний. Тогдатеоретико-множественным представлением называется множество

S={{P_i1,…,P_in},…, {P_k1,…,P_kn}} или {C₁,…,C_k}.

Каждое C_iявляется дизъюнктом, аS– множеством дизъюнктов,P_ij– атомы, входящие вj-е предложение.

Пример. Предложениеxz[A(x,y)&(B(x)C(z))&D(z,x)] имеет следующее теоретико-множественное представление: {{A(x,y)}, {B(x),C(z)}, {D(z,x}}}.

Эрбрановские интерпретации

Эрбрановские интерпретации были темой докторской диссертации Эрбрана в 1930 году. Не будет преувеличением сказать, что без вклада Эрбрана логическое программирование было бы до сих пор несбыточной мечтой. Основная проблема автоматического доказательства теорем состоит в построении универсальной процедуры, с помощью которой можно проверить, является ли данная формула логики предикатов общезначимой или нет. В 1936 г. Тьюринг и Чёрч независимо друг от друга доказали, что такой процедуры не существует. Однако Эрбран к этому времени уже решил косвенно эту проблему, предоставив алгоритм для построения интерпретации, опровергающей данную формулу . Если  общезначима, опровергающей ее интерпретации не существует и алгоритм останавливается за конечное число шагов. В 1965 г. Робинсон, применяя метод Эрбрана, ввел и использовал понятие резолюции.

Для данного предложения PrL  мы хотим определить, выполнимо  или нет. Мы будем решать вопрос о выполнимости предложения, исследуя соответствующее  множество дизъюнктов S. Проверка выполнимости или невыполнимости всех основных термов, входящих в дизъюнкт, практически невозможна. Поэтому мы построим множество интерпретации, на котором будут принимать значение термы предложения . Это множество называется эрбрановским универсумом. Эрбрановский универсум строится индуктивно: Пусть S – множество дизъюнктов, соответствующее предложению .

Шаг 1.

H₀={c | константа с встречается в S} или H₀={c₀}, если S не содержит ни одной константы, где с₀ – новая константа («новая» означает, что она не встречается в S), которую мы выбираем произвольным образом.

Шаг i+1.

H_i+1=H_i {f(a₁,…, a_n) | a_j – термы из H_i, 1jn, f – функция, входящая в S}.

Полагаем, что

H=_iN H_i.

Множество Н всех термов, построенных из констант Н₀и функциональных символов, встречающихся вS, называетсяэрбрановским универсумомдляS. МножестваH_i,i=0, 1, 2, … называютсязрбрановскими множествамиS.

Пример 1.. Пусть задано множество дизъюнктовS: {{P(a)}, {P(a),P(f(x))}}, где а – константа. Тогда H₀={a}, H₁={a, f(a))}, H₂={a, f(a), f(f(a))}, …, H={a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))),…}.

Пример 2.Рассмотрим программу

	P(x)Q(f(x), g(x))
	R(x)

Вводим константу а и получаем

H={a, f(a), g(a), f(f(a)), f(g(a)), g(f(a)), g(g(a)), …}.

Пример 3. S={{P(x), Q(x)}, {T(x), R(x)}}

 Вводим новую константу с₀. ПолучаемH₀={c₀}. Так как вSне встречается ни одного функционального символа, имеемH=H₀={c₀}.

Теоретически для того, чтобы проверить предложение на выполнимость, мы должны узнать, существует ли какая-нибудь интерпретация (в бесконечном множестве возможных интерпретаций), в которой, истинно данное предложение. Задача решается намного проще, если мы ограничимся рассмотрением универсальных предложений, т.е. предложений, содержащих только кванторы общности. В этом случае достаточно работать только с небольшим классом интерпретаций, называемых эрбрановскими интерпретациями.

Индуктивное определение эрбрановской интерпретации:

Пусть S– множество дизъюнктов, Н – эрбрановский универсум, соответствующийS. Эрбрановский универсум определяется следующим образом.

1. Областью интерпретации является Н.

2. Интерпретация символа константы есть сама константа.

3. Интерпретация терма I[f(t₁, …,t_n) естьI[f] (I[t₁],…, I[t])

4. Интерпретация предикатного символа P(t₁,…,t_n) естьn-местное отношениеI[P] (I[t₁],…,I[t_n]) на множестве Н.

Примем без доказательства теоремуоб эрбрановских интерпретациях:

Пусть - универсальное предложение (-формула) иS– его множество дизъюнктов. Тогдавыполнимо (в какой либо интерпретации) тогда и только тогда, когда оно выполнимо в эрбрановской интерпретации.

Согласно теореме, если предложение не выполнимо в эрбрановской интерпретации, тоне выполнимо, т.е. не существует интерпретации, в которой оно истинно.

Таким образом, с помощью эрбрановских интерпретаций проблема невыполнимости множества дизъюнктов сводится к проблеме невыполнимости множества основных³ примеров этих дизъюнктов на эрбрановском универсуме. Так как в основные примеры дизъюнктов не входят переменные, выполнимость может быть доказана методами логики высказываний, такими как метод семантических таблиц и метод резолюций.

Оба этих метода являются алгоритмическими доказательствами(в отличие от обычных методов проверки выполнимости в логике предикатов).