Логика предикатов

Логика предикатов - раздел алгебры логики, являющийся основой построения формальных логико-математических языков. Используется при построении интеллектуальных систем, таких как машинный перевод текстов с одного языка на другой, сочинение музыки, стихов и т.д., т.е. таких систем, которые не контролируются полностью заданной программой и потоком входных данных, а допускает некоторый произвол в решении исходной задачи за счет возможности выработки самостоятельных критериев и алгоритмов.

Для обозначения языка логики предикатов принята аббревиация PrL. Мы будем рассматривать логику предикатов первого порядка. Она существенно выразительнее логики высказываний и позволяет представлять знания о среде гораздо более компактно. Предикатом называют высказывание, истинностное значение которого определено на множестве наборов значений переменных, принимающих значение в предметной области, которая, в свою очередь, может быть произвольной. В отличие от пропозициональных переменных логики высказываний, принимающих значение в множестве {0,1} или {t,f}. Отношения объектов предметной области представляются на языке логики предикатов в виде предложений, удовлетворяющих определенным требованиям. Рассмотрим синтаксис и семантику логики предикатов.

Исходные символы языка логики предикатов

Исходные символыязыка логики предикатовL_делятся на шесть групп:

• V- множество предметных переменных,V={х₁,x₂, …,x_n};

• С - множество предметных констант, С={с₁,с₂,...};

• S-множество логических связок,S={0,1, &,,,,,}; здесь 0 и 1 - логические символы, означающие «ложь» и «истина»,&- символ конъюнкции или логического умножения,-дизъюнкция или логическое сложение,- символ логического отрицания,символ импликации или логического следования,- символ эквивалентности;

• F-множество функциональных символов,F=;

• R- множество предикатных символов,(n-местным предикатным символом называется отображениеI_r: Мⁿ{0,1}, где М - произвольное множество);

• множество вспомогательных символов {, (, ) }.

Кроме того, в языке PrLопределяется понятие предметной областиDтакой, что сС: с есть наименование объекта в предметной областиD; хV, означает, что х «пробегает» весь диапазон возможных значений изD. Установление связи между элементами языкаPrLи предметной областьюDпроизводится с помощью функции интерпретацииI.

Функциональные символы из множества Fсуть операции над некоторыми операндами, определенными над предметной областьюD.

Предикатные символы есть отношения, определенные также на предметной областью D.

Сигнатурой языка L_Sназывается множество=CFR, если

• FR=,

• fF : FN;

• rR : RN,

т.е. отображение ставит в соответствие каждому функциональному символу и каждому предикатному символу натуральное число, являющееся местностью этого функционального или предикатного символа. Иначе,(f) и(r) - есть число аргументов функционального или предикатного символа. Например, еслиf² есть«+», т.е.f(x,y)=х+у, то(f)=2; еслиf=Sin(х), то(f)=1.

Если предикатный символ rесть <в выражении вида х < у, то(r)=2.

Мощность множества RFназывается мощностью сигнатуры.

В предметной области D упорядоченная пара (D, ) называется алгебраической системой сигнатуры . Если в сигнатуре отсутствуют функциональные символы, то такая алгебраическая система называетсямоделью.

Пусть ₁  ₂. Тогда модель Ф₁= (D; ₁) называется обеднением модели Ф₂=(D; ₂), и, соответственно, Ф₂ есть обогащение Ф₁, если ₁и ₂интерпретируются одинаково в обеих моделях.

Кроме перечисленных исходных символов в логике предикатов рассматриваются еще

две категории выражений: термы и формулы.