Интерпретация формул с логическими связками.

Пусть А(х) и В(х) - атомные формулы, заданные своими функциями интерпретации I_Аi(x)

и I_Bj(x). Тогда формула А(х)&В(х) соответствует логическая функция интерпретации

I_Ai(x)&I_Bj(x) _. Если D_A и D_B - области истинности функций I_Ai и I_Вj , то D_{A& B}==D_AÇD_B. Т.е. логическое значение формулы, образованной с использованием логических связок на каждом наборе значений переменных определяется как логическое значение соответствующей связки, примененной к значениям функций интерпретации атомных подформул на тех же наборах значений переменных.

Пример 6. Найти логическое значение формулы PQ & R, если логические значения постоянных формул (P,Q,R ) заданы тройкой (1,0,0).

 Т.к. формула содержит 0-местные предикаты P,Q,R, то значение формулы на любой предметной области определяется как I[10&0]=0.

Пример 7. Найти значения формулы QР(х), если предметная область D={1,2,...,6}, I[Q]=1, P(x)=I₁₃(x).

 Так как данная формула содержит свободное вхождение переменной х, ее интерпретацией будет множество значений, определяющих логическое значение формулы для каждого значения переменной х. Результат вычисления содержится в Табл. 5. 

Таблица 5

x	1	2	3	4	5	6
P(x)	0	0	1	1	0	1
Q ÞP(x)	0	0	1	1	0	1

Интерпретация формул, содержащих кванторы

Логическое значение формул, содержащих кванторную приставку по переменной х, определяется как максимум из значений формулы, когда переменная кванторной приставки «пробегает» всю предметную область, для квантора существования  и как минимум для квантора общности , т.е.

I[" x A(x)]=min I[A(d)],

(dD)

I[$ x A(x)] =max I[A(d)].

(dD)

Здесь d есть интерпретация I(x) терма х.

При определении логического значения формул логики предикатов необходимо учитывать следующие правила:

• вначале выполняются действия в скобках;

• кванторы связывают сильнее, чем отрицание, отрицание - сильнее, чем конъюнкция, конъюнкция - сильнее, чем дизъюнкция и импликация, последние - сильнее, чем эквивалентность.

Пример 8. Найти логическое значение формулы $у Р (х,у) в модели:D = {1,2,3} , I[Р(х,у)]= =I₁₃₁.

 В заданной предметной области возможно 3² = 9 различных комбинаций значений переменных х,у, а число различных функций интерпретации-2⁹ . В заданной интерпретации Р(х,у)=(010000011). Операции по определению значений формулы ясны из таблицы 6.

Таблица 6

х	1 1 1	2 2 2	3 3 3
у	1 2 3	1 2 3	1 2 3
Р(х,у)	0 1 0	0 0 0	0 1 1
$уР(х,у)	1	0	1

Переменная х свободна в данной формуле, поэтому значение формулы с кванторной приставкой по переменной у определяется как максимум по переменной у из всех значений подформулы Р(х,у) при фиксированном значении х. §

Пример 9. Найти значение формулы "х$у Р(х,у) в модели D={ 1,2,3}, I[Р(x,у)] = I₁₃₁.

 Последовательность действий по определению логического значения формулы очевидна из Табл. 7. 

Таблица 7

х	1 1 1	2 2 2	3 3 3
у	1 2 3	1 2 3	1 2 3
I131(х,у)	0 1 0	0 0 0	0 1 1
у I131(х,у)	1	0	1
xyI131(x,y)	0

Пример 10.Составить таблицу истинности формулых (РQ(х ))Q(у),D={1,2}.

ªИстинностная таблица формулы языка логики предикатов в заданной предметной области содержит все возможные наборы значений переменных, имеющих свободное вхождение в формулу, и атомных постоянных формул, и соответствующие этим наборам истинностные значения всех подформул и самой формулы.

Переменная х входит в формулу связано, а переменная у - свободно. Следовательно, значение истинности формулы зависит от значения переменной у. Атомная формула Q(х) может иметь четыре различных функции интерпретации. Постоянная атомная формула Р может иметь два истинностных значения. Подформула в области действия кванторной приставки может иметь 8 различных функций интерпретации, каждая из которых является вектором длины 2. Вектор же функции интерпретации формулы в целом имеет длину 16. Последовательность действий при определении логического значения формулы ясна из таблицы 8.

Таблица 8

х	(Р		Q	(х))		Q	(у)
0	0	0	0	1	1	0	1
	0	0	0	2	1	0	2
1	0	0	0	1	0	0	1
	0	1	1	2	1	1	2
1	0	1	1	1	1	1	1
	0	0	0	2	0	0	2
1	0	1	1	1	1	1	1
	0	1	1	2	1	1	2
1	1	1	0	1	0	0	1
	1	1	0	2	0	0	2
1	1	1	0	1	0	0	1
	1	1	1	2	1	1	2
1	1	1	1	1	1	1	1
	1	1	0	2	0	0	2
1	1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	2	1	1	2

Пример 11. Составить таблицу истинности формулыy(x(PQ(x))Q(y)), если предметная областьD={1,2}.ªВ подформуле, находящейся в области действия квантора существования, переменная х принимает 2 значения, формулаQ(х) имеет 4 различных интерпретации, постоянная формула Р имеет 2 различных интерпретации. Чтобы учесть все возможные сочетания истинностных значений компонент формулы, таблица должна иметь 242=16 строк. Истинностные значения формулы приведены в таблице 9.

Пример 12. Пусть предикат Р(х,у,z) означает х+у=z, х.у,zN0}.. ТогдаI[P(3,5,3)] =0,

I[ Р(3,5,8)] =1,I[Р(0,4,2)] =0.

Формула у Р(х,у,z) задает уже двуместный предикат, в списке свободных переменных которого отсутствует переменная у. Сигнатура в данном случае содержит один функциональный символ + и один символ отношения Р. При подстановке конкретных значений вместо свободных вхождений переменных получаем истинную или ложную формулу. Например,у Р(2,у,3), у Р(0,у,0)у Р(5,у,2)=0.

Понятно, что формула у Р(х, у,z) означает предикатx z.

На этом примере легко понять, почему свободные и связанные переменные играют разную роль в формуле:

• Вместо связанной переменной нельзя подставить конкретное значение, так как при этом получится бессмысленное выражение. Так, запись (3)Р(2,3,3) не имеет разумного смысла.

• Связанная переменная не имеет самостоятельного значения, ее можно переименовать, не меняя смысл формулы. Такая операция называется переименованием связанной переменной. При переименовании связанных переменных необходимо следить, чтобы ни одна свободная переменная в результате этой операции не оказалась связанной Последняя ситуация называется коллизией переменных. Она приводит к искажению логического значения формулы.

Таблица 9

"у	($х	(Р	Ú	Q	(х))	Þ	Q	(у))
1	0	0	0	0	1	1	0	1
		0	0	0	2	1	0	2
0	1	0	0	0	1	0	0	1
		0	1	1	2	1	1	2
0	1	0	1	1	1	1	1	1
		0	0	0	2	0	0	2
1	1	0	1	1	1	1	1	1
		0	1	1	2	1	1	2
0	1	1	1	0	1	0	0	1
		1	1	0	2	0	0	2
0	1	1	1	0	1	0	0	1
		1	1	1	2	1	1	2
0	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	0	2	0	0	2
1	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	2	1	1	2