Подстановка термов в формулы

Если при работе с формулами возникает необходимость подстановки терма в формулу, необходимо иметь в виду следующее:

1. Вместо связанных переменных ничего подставлять нельзя.

2. Нельзя допускать появления новых связанных вхождений какой-нибудь переменной, если их не было в исходной формуле.

3. Результат подстановки термов t₁t₂... t_nв формулу Р вместо свободно входящих переменных х₁, х₂, ..., х_nобозначаетсяилиP{x₁/t₁,…x_n/t_n}, где {x₁/t₁,…x_n/t_n} и называется подстановкой.

Определение: переменная у свободна для переменной х в формуле Р, если в формуле Р отсутствуют свободные вхождения переменной х, находящиеся в области действия квантора по переменной у; терм t свободен для переменной х в формуле Р, если любая переменная терма свободна для х в формуле Р.

Следствия.

1. Постоянный терм свободен для любой переменной в любой формуле Р.

2. Если ни одна переменная терма не является связанной переменной формулы Р, то терм t свободен для любой переменной формулы Р.

Практически это означает, что свободный для переменной х терм может быть подставлен в формулу Р вместо свободного вхождения переменной х, не изменив ее логического значения. Например, формула x + y < 0 содержит х и у свободно. Логическое значение замыкания этой формулы, если предметная область есть множество R действительных чисел, I["ху(x+y < 0)]=0. Пусть терм t=y²-y. Согласно определению терм t свободен для переменной х в этой формуле. Результатом подстановки будет формула у²-у + у<0, логическое значение которой I["y(y²<0)]=0,что совпадает со значением формулы до подстановки.

Связав переменную у квантором существования, получим формулу $у (х + у < 0). Логическое значение замыкания этой формулы I["x $y (x + y < 0)]=1, т.е. высказывание «Для любого действительного числа х существует действительное число у, для которого х + у < 0» истинно на множестве действительных чисел R. Переменная у не свободна для переменной х в последней формуле. Результатом подстановки терма t= y²-y является формула $у(у² - у + у <0), которая в предметной области R ложна. Т.е. в результате подстановки терма t в формулу вместо свободного вхождения переменной x произошла смена логического значения формулы. Такое событие называется коллизией переменных.

Чтобы избежать коллизии переменных, необходимо перед подстановкой терма в формулу произвести переименование всех связанных переменных формулы, встречающихся в подставляемом терме.

Подстановочное множество или просто подстановка есть множество ={x₁/t₁, x₂/t₂,…,x_n/t_n}, где x и t являются соответственно переменными и термами.

Если  есть какое-нибудь выражение (атом, терм, формула), то  обозначает выражение, полученное путем подстановки на места свободных вхождений переменных x₁,…, x_n cсоответствующих термов t₁,…, t_n.

Пустая подстановка обозначается символом Е. E={ }.

Основной операцией на множестве подстановок является композиция.

Пусть ={u₁/s₁,… ,u_m/s_m} и ={v₁/t₁,,…, v_n/t_n}.

Композицией  и  называется подстановка

={u₁/s₁,…, u_n/s_n, v₁/t₁, …, v_n/t_n} \ ({u_i/s_i | u_i=s_i}  {v_i/t_i | v_i{u₁,…, u_m}}).

Таким образом, мы сначала применяем подстановку  к термам s₁,…, s_m подстановки , заменяя в этих термах переменные v_i на термы t_i, а затем дополняем полученную подстановку элементами множества . При этом мы отбрасываем элементы вида u_i/ s_i, если терм s_i совпадает с u_i, и элементы вида v_i / t_i, если v_i{u₁,…, u_n}.

Пример 1. Рассмотрим две подстановки : ={x / f(y), y / z} (в качестве {u_i / s_i}) и ={x/a, y/b, z/y} (в качестве {v_i / t_i}).

 Согласно определению композиция  и  имеет вид:

  ={x/f(y) , y/z,x/a, y/b, z/y} \ ({u_i/s_i | u_i=s_i}{v_i/t_i | v_i {u_j}})=

= {x/f(b), y/y, x/a,y/b, z/y} \ ({y/y}{x/a, y/b}) = {x/f(b), z/y}. 

Пример 2. Рассмотрим терм t: w(f(v₁), h(x), f(v₂), v₃) и подстановки

={v₁/f(g(x)), v₂/h(v₁), v₃/h(v₃)}, ={x/z, v₁/v₂, v₃/v₁}.

 Имеем

={v₁/f(g(x)) , v₂/h(v₁) , v₃/ h(v₃) x/z, v₁/v₂, v₃/v₁} \ (  {v₁/v₂, v₃/v₁}) =

={v₁/f(g(z)), v₂/h(v₂), v₃/h(v₁), x/z}.

Следовательно,

t(): w(f(f(g(z))), h(z), f(h(v₂)), h(v₁)).

Отметим также, что

(t)= w(f(f(g(x))), h(x), f(h(v₁)), h(v₃)) 

= w(f(f(g(z))), h(z), f(h(v₂)), h(v₁)) = t(). 

Из примера 2 можно заключить, что в этом случае выполняется свойство ассоциативности.

В общем случае верна следующая теорема:

Для произвольных подстановок ,   и для произвольного терма t выполняются равенства:

1. Е =Е = ;

2. (t)  = t();

3. () = ().

Пусть  - формула без кванторов, и  - подстановка. Запись  обозначает результат замены каждого терма t в формуле  на t.

Если S={C₁,…, C_k} – множество формул PrL без кванторов, то множество S= {C₁,…, C_k} есть результат замены формул С_i на формулы C_i.

Два множества формул без кванторов называются вариантами, если можно подобрать такие две подстановки  и , что S₁=S₂, а S₂ = S₁.

Пример 3. Множества S₁={P(f(x,y)), Q(h(z),b)} и S₂={P(f(y,x)), Q(h(u), b)}, где b – константа, являются вариантами. Действительно, если ={x/y, y/x, z/u} и = {x/y, y/x, u/z}, то

S₁= {P(f(x,y)) , Q(h(z), b) } = {P(f(y,x)), Q(h(u),b)} = S₂,

S₂Ψ= {P(f(y,x)) Ψ, Q(h(u), b) Ψ } = {P(f(x,y)), Q(h(z), b)} = S₁.

Переименованием называется подстановка вида

{v₁/u₁,…, v_n/u_n},

где все u_i , 1 i  n, являются переменными.