Построение замкнутых семантических таблиц
Построение начинается с того, что замкнутая формула t или f помещается в корень таблицы. Далее выполняется индуктивная процедура.
Шаг n. Мы уже построили таблицу Tn. Она далее расширяется до новой таблицы Tn+1 c использованием некоторых вершин Tn.
Шаг n+1. Пусть Х – неиспользованная неэлементарная вершина2. Если такой вершины не существует, то семантическая таблица является замкнутой. Если такая вершина есть, строим таблицу Tn+1, продолжая каждую непротиворечивую ветвь, проходящую через вершину Х, присоединением таблицы, соответствующей Х.
Случай 1. Х имеет вид t(x (x)).
Пусть cn –первая константа в списке всех констант языка, которая не встречалась в вершинах вида t(cn) ни в одной ветви, проходящей через вершину Х. Тогда добавляем t(cn) в конец каждой непротиворечивой ветви, проходящей через Х, как показано на рисунке.
t(x (x))
|
t(cn)
Случай 2. Х имеет вид f(x (x)).
Пусть ck – первая константа в списке, которая не встречалась ни в одной вершине каждой из ветвей, проходящей через Х. Тогда добавляем f(ck) в конец каждой ветви, проходящей через Х в соответствии с рисунком.
f(x (x))
|
f(ck)
Случаи 3 и 4: Х имеет вид t(x(x)) иf(x(x)) соответственно. Эти случаи двойственны случаям 1 и 2. Содержательно, в случаях 1 и 3 (двойственно 2 и 4) мы хотим избавиться от повторений, и объявляем(с) истинной каждый раз для новой константы, выбирая ее из списка констант, что может продолжаться бесконечно.
Замкнутая семантическая таблица (ЗСТ)
для PrLесть объединение
всех таблицTnиз предыдущего построения, т.е.
ЗСТ дляPrLможет иметь
бесконечное число вершин, тогда как
семантические таблицы дляPLвсегда конечны.
Основные определения для ЗСТ:
ЗСТ называется противоречивой, если все ее ветви противоречивы.
Предложение выводимо по Бету (опровержимо по Бету), если существует противоречивая ЗСТ с корнемf(t). Тот факт, что предложениевыводимо по Бету обозначается ├В.
Предложение выводимо по Бетуиз множестваSпредложенийPrL, если существует противоречивая ЗСТ с корнемfи следующей вершинойtP, где Р – конъюнкция предложений множестваS. Этот факт обозначаетсяS├В.
Приведем пример семантической таблицы, которая может продолжаться бесконечно.
t
Вершина 1
Вершина 2
Вершина 3
Вершина 4
Из вершины 2
|
t[xA(x,x)]
|
t[y(A(y,y)B(y,y)]
|
Для
новой с0
из вершины 2 для всех
с
t[A(c0,c0)B(c0,c0)]
t[A(c0,c0)]
|
f[A(c0,c0)]
|
t[A(c0,c0)]
|
t[B(c0,c0)]
|
t[A(c,c)]
|
t[A(c0,c0)]
|
t[A(c1,c1)]
Рисунок
5Пример семантической таблицы с
бесконечной ветвью
В этом примере левая ветвь противоречива, тогда как правая ветвь продолжается бесконечно.
Сколемовская нормальная форма
Сколемовская нормальная форма (СНФ) является универсальным предложением, которое выполнимо тогда и только тогда, когда выполнима порождающая его формула, записанная в ПНФ. Процедура построения СНФ состоит в следующем.
Построить ПНФ предложения .
Последовательно слева направо вычеркнуть каждый квантор существования, заменяя все вхождения переменной,, связанной этим квантором, на константу, если в кванторной приставке перед вычеркиваемым квантором существования нет кванторов общности, либо функциональным символом, местность которого равна числу кванторов общности, предшествующих вычеркиваемому квантору существования. Аргументами этого функционального символа являются переменные, которые связаны этими кванторами общности. Эти константа и функция называются сколемовской константой и сколемовской функцией соответственно.
Пример. Рассмотрим предложение
: xyzv P(x,y,z,v),
которое находится в ПНФ. Вычеркиваем квантор существования x, заменяя вхождение переменнойxна сколемовскую константуа, и квантор существованияv, заменяя переменнуюvна сколемовскую функциюf(z,y). Получаем предложение
1: yzP(a,y,z,f(z,y))
Говоря неформально, сколемовская функция f(z,y) указывает на существование переменнойv, которая зависит от переменныхzиy. Константаaозначает сколемовскую функцию с арностью 0. Она замещает переменнуюx, связанную квантором существования.