Термы и формулы

В термах используются предметные переменные. Понятие термасигнатурыопределяется по индукции:

• всякая предметная переменная хVи всякая константа сС являются термом;

• если t₁,t ₂,...,t _{n -} термы, а fF,f- функциональный символ местностиnсигнатуры, то выражение видаf(t_1,t ₂,...,t _n) является термом.

• других термов нет.

• Терм называется постоянным (основным, замкнутым), если он не содержит переменных, и параметрическим - в противном случае.

ПРИМЕРЫ:

1. Переменные х,у и константы 2, е, - термы.

2. Выражения ln(Sin(х+у)), е^х- термы.

Индуктивное определение формулы:

• предикатный символ r(t₁,t ₂,...,t_r)R, гдеt₁,t ₂,...,t _n-термы сигнатуры, есть атомная формула или атом;

• если А и В - формулы, то А В, А &В, АВ, АВ,А - формулы.

• если А(х) – формула, то выражения хА(х) ихА(х) - формулы. Здесьх ,х называются кванторными приставками, х - переменная кванторной приставки, А(х) - область действия кванторной приставки; в этих случаях говорят ,что переменная х входит в формулу связано, или что имеет место связанное вхождение переменной х;

• других формул нет.

Формула А называется постоянной или предложением, если она не содержит свободных вхождений переменных. В противном случае формула называется параметрической или условием.

Одна и та же переменная может входить в формулу как связано, так и свободно. Например,

1. А(х₁,х₂) - переменные х₁и х₂входят свободно;

2. А(х₁,х₂)х₁ В(х₁) - первое вхождение переменной х₁свободно, второе - связано. Переменная х₂входит свободно.

3. х₂ (В (х₁,х₂)х₁А(х₁)) - первое вхождение переменной х₁свободно, второе - связано.

Множество формул образует язык логики предикатов PrL.

Интерпретация вPrL

Следует, прежде всего, зафиксировать предметную область, свойства которой мы намерены изучать. Эта область должна представлять собой непустое множество вместе с заданными на этом множестве операциями и отношениями. Эти заданные операции и отношения называются основными. Чтобы иметь возможность записывать изучаемые свойства, потребуются обозначения основных операций и отношений. Например, в арифметике предметная область – это множество натуральных чисел, основные операции – это безаргументные операции, выделяющие 0 и 1, а также операции +, ×; основное отношение – отношение порядка ≤. В элементарной геометрии операций обычно не рассматривают, а основные отношения – это отношения равенства, принадлежности, быть точкой, быть прямой, быть плоскостью и др.

Операция на множестве А от n аргументов – это отображение, сопоставляющее каждой упорядоченной n-ке из множества А определенный элемент из множества А. Операции и отношения могут иметь различные арности.

Отношение ставит в соответствие предикату его истинностное значение: 0 или 1.

Алгебраической системой (иногда говорят структурой, интерпретацией) сигнатуры S называется непустое множество D вместе с отображением, которое каждому символу отношения сигнатуры S ставит в соответствие отношение той же местности на этом множестве, а каждому функциональному символу сигнатуры S ставит в соответствие операцию той же местности на этом множестве. Это фиксированное непустое множество называется основным (несущим) множеством алгебраической системы.

Состоянием (или оценкой) алгебраической системыназывается отображение, которое каждой предметной переменной ставит в соответствие некоторый элемент основного множества этой системы.