Семантические деревья

Исчисление семантических деревьев похоже на исчисление по Бету.

Пусть  - предложение, и S –соответствующее множество дизъюнктов. Если  выполнимо, то оно истинно в некоторой эрбрановской интерпретации. Соответственно, все основные примеры дизъюнктов из S истинны в этой интерпретации. Следовательно, если предложение  невыполнимо, любая попытка подтвердить все основные примеры дизъюнктов из S с помощью означивания основных атомов r (t₁,…, t_n), где термы t₁,…, t_n принадлежат эрбрановскому универсуму, обречена на неудачу. Этот факт может быть обнаружен за конечное число шагов путем построения конечного множества невыполнимых в эрбрановской интерпретации основных примеров. Согласно теореме Эрбрана эти основные примеры невыполнимы во всех интерпретациях.

Следовательно, вопрос о том, как построить процедуру, которая, имея на входе предложение  и соответствующее множество дизъюнктов,

• если  невыполнимо, останавливается после конечного числа шагов, выдавая конечное множество основных примеров;

• если  выполнимо, процедура, в общем случае, не дает никакого ответа за конечное время, при этом она осуществляет построение эрбрановской интерпретации, на которой истинно .

Т.е. с помощью этой процедуры мы хотим получить доказательство невыполнимости предложения или контрпример. При построении такой процедуры используются семантические деревья.

Деревом называется связный граф без циклов, одна из вершин которого (единственная) называется корнем. Из корня может быть достигнута любая вершина дерева. Две вершины дерева, связанные ребром (ветвью) находятся в отношении предшествования . T=(x, r) - дерево, xry означает: x является непосредственным предшественником y, а y – последователем x. Здесь x,y -элементы из множества основных примеров с отрицанием или без.

Пусть S={C₁,…,C_n}– множество дизъюнктов;P₁,…,P_l– атомы, входящие в дизъюнкты множестваS, {a₁,…,a_n,,…} – эрбрановский универсум множестваS.

Семантическим деревом для Sназывается дерево Т, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Корнем дерева является произвольная точка. Вершины, отличные от корня, являются основными примерами атомов P₁,…,P_lна эрбрановском универсуме {a₁,…,a_n,…} . Каждая вершина имеет точно две последующие вершины, а именноP_i(a_i1,…,a_ik) иP(a_i1,…,a_ik).

2. Каждая ветвь дерева Т, содержащая основные примеры P_i1(a_l1,…a_lk),…,P_iq(a_q1,…,a_qk) представляет конъюнкцию этих основных примеров.

3. Дизъюнкция всех конъюнкций ветвей дерева Т является общезначимой формулой.

4. Если вершина дерева Т имеет вид P(a_i1,…,a_ik), то ни на какой ветви дерева, проходящей через эту вершину, не может встретитьсяP(a_i1,…,a_ik).

5. Если при построении дерева Т получена вершина k, которая вступает в противоречие с каким-либо основным примером одного из дизъюнктовC₁, ,C_nмножестваS, тоkсчитается заключительной вершиной, и о соответствующей ветви говорят, что онапротиворечива.

Практически построение семантического дерева множества Sначинается сP₁(a₁₁,…,a_1k):



P(a_i1,…,a_ik),  P(a_i1,…,a_ik),

Если один из дизъюнктов множества SсодержитP(a_i1,…,a_ik), то правая ветвь противоречива,

 P(a_i1,…,a_ik) является заключительной вершиной, и построение продолжается по левой ветви.

Предположим, что P(a_i1,…,a_ik) – не заключительная вершина. Тогда из нее исходит две ветви к двум вершинам дерева, означающим какой-либо другой атом предложения, еще не встречавшийся в этой ветви, и его отрицание. Цель построения: достичь заключительной вершины, исчерпав все атомы изS.

Определение

1. Множество дизъюнктов S называется опровергаемым семантическим деревом, если существует семантическое дерево для S, ветви которого противоречивы.

2. Ветвь семантического дерева множества дизъюнктов S называется полной, если для всех основных примеров P(a_i,…,a_n)каждого атома Р в этой ветви содержатся P(a_i,…,a_n) или

 P(a_i,…,a_n).

Пример. Пусть дано предложение : x[P(x)&(P(x)Q(f(x)))&Q(f(x))]. Тогда

S={{P(x)}, {P(x), Q(f(x))},{Q(f(x))}},

1 2 3

и Н = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))),…} - эрбрановский универсум

основные примеры = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)),…}.

Семантическое дерево Т для S изображено на рисунке 5.

Символ означает противоречие. Справа от него указан номер дизъюнкта, ответственного за это противоречие. Посмотрим, почему вторая ветвь противоречива. Эта ветвь представляет конъюнкцию

Q(f(a))&P(f(a))&Q(a)&P(a).

Второй дизъюнкт множества Sимеет вид {P(x),Q(f(x))}. Поэтому мы требуем, чтобы формулаP(x)Q(f(x)) была истинной для каждого х. Ветвь 2 утверждает, что в эрбрановском универсуме существует значение переменной х, равное а, для которого выполняется

Q(f(a))&P(f(a))&Q(a)&P(a).

Отсюда мы имеем также Q(f(a))&P(a) =(Q(f(a))P(a)). Следовательно, рассматриваемая ветвь дает противоречие со вторым дизъюнктом множестваS.

Порядок выбора очередного элемента из Н для подстановки в атомы из множества Sпроизволен.

Теорема Эрбрана

Если множество дизъюнктов S невыполнимо, то S опровергается семантическим деревом.

(Без доказательства).

Фактически теорема Эрбрана предоставляет возможность при проверке выполнимости предложения или множества дизъюнктов Sиспользовать методы логики высказываний, например, метод семантических таблиц или метод резолюций. ЕслиSневыполнимо, то существует множество основных примеров дизъюнктов множестваS, которое также будет невыполнимым. Это конечное множество состоит из высказыванийPL, и его невыполнимость может быть обнаружена известными методами. Таким образом, для каждого множества дизъюнктовSмы перечис-



Рисунок 6 Семантическое дерево

P(a) P(a)

Q(a)

Q(a)

P(f(a))

P(f(a))

P(f(a))

P(f(a))

Q(f(a))

Q(f(a))

Q(f(a))

Q(f(a))

1

1

1

3

2

3

2

ляем все основные примеры дизъюнктов из S. При этом систематически проверяем выполнимость каждого конечного множества основных примеров, пользуясь методами логики высказываний. ЕслиSневыполнимо, такая проверка покажет, что одно из конечных подмножеств невыполнимо. ЕслиSвыполнимо, эта процедура будет продолжаться бесконечно.

Приведем пример выполнимого множества дизъюнктов. Пусть дано предложение

: x[yP(x,y)yP(a,y)]

СНФ предложения имеет вид:

: xy[P(x,y)P(a, f(x,y))].

Соответствующее множество дизъюнктов имеет вид:

S={{P(x,y), P[a, f(x,y)]}}.

Соответствующий эрбрановский универсум – H={a, f(a,a), f(a, f(a,a)), f(f(a), a), f(f(a,a), f(a,a)),…}. Основными примерами атомов из S являются {P(a,a), P(a, f(a,a)), P(f(a,a), a), P(f(a,a) f(a,a)),…}. Семантическое дерево для множестваSимеет вид:





P(a,a)

P(a,a)

P(a,f(a,a)

P(a,f(a,a)

P(a,f(a,a)

P(a,f(a,a)

P(f(a,a)a)

P(f(a,a),a)



Это бесконечное семантическое дерево содержит одну противоречивую ветвь. Остальные ветви по своей конструкции не являются противоречивыми, так как конъюнкция их атомов не противоречит единственному дизъюнкту множества S.