Предваренная нормальная форма

В логике высказываний рассматривались две эквивалентные нормальные формы представления высказываний: КНФ и ДНФ. В логике предикатов существуют две дополнительные нормальные формы: предваренная (пренексная) нормальная форма (ПНФ) и сколемовская нормальная форма (СНФ), которые различаются типом кванторов, входящих в предложение. Преобразуя каждое из двух заданных предложений в одну из этих форм, можно их сравнивать, определять, эквивалентны ли они, является ли одно отрицанием другого, обладают ли они какими либо особенностями.

Формула  находится в ПНФ, если она имеет вид:

: Q₁(x₁)Q₂(x₂)…Q_n(x_n) ,

где Q_i{, E},  - формула без кванторов. Выражение (Q₁(x₁)Q₂(x₂)…Q_n(x_n)) называется префиксом формулы , а  называется матрицей . Процедура приведения формулы логики предикатов к ПНФ состоит в следующем.

1. Избавиться от символов  и .

2. Пронести отрицания вглубь подформул до атомов.

3. Вынести кванторы за скобки в порядке их следования в формуле с учетом общезначимых эквивалентностей логики предикатов.

4. При необходимости переименовать связанные переменные в подформулах во избежание коллизии переменных в результате вынесения кванторов.

5. Представить полученную бескванторную формулу в КНФ.

Пример преобразования формулы логики предикатов к ПНФ.

: xy[z (P(x,z)&P(y,z))uR(x,y,u)] xy[z(P(x,z)&P(y,z)) uR(x,y,u)]

xy[z(P(x,z)  P(y,z)) uR(x,y,u)] xyz[P(x,z)  P(y,z)  uR(x,y,u)]

xyzu[P(x,z)  P(y,z)  R(x,y,u)]

Теперь можно перейти к преобразованию предложения  в универсальное предложение *, которое содержит только кванторы общности, находится в предваренной форме и выполнимо тогда и только тогда, когда выполнимо .

Метод семантических таблиц

Семантические таблицы для PrLполучаются из соответствующих таблиц для логики высказываний путем добавления правил для кванторов. Для формулыx(x) семантическая таблица имеет вид дерева, в корень которого помещено утверждениеtx(x). Ранее было определено, что логическое значение формулы, образованной с использованием квантора общности, определяется как минимум логических значений формулы, находящейся в области действия квантора, при всевозможных подстановках термов из предметной области вместо всех вхождений переменной квантора. Семантические таблицы для формул, образованных с использованием кванторов, имеют вид:

С

t(x(x))

|

t((c) )

для всех с

t(x(x))

|

t(c)

для новой с

емантическая таблица для формулы, образованной с использованием квантора существования вводит новую константу с, которая еще не появлялась в таблице.

Семантическая таблица для PrLназываетсязамкнутой семантической таблицей(ЗСТ) если все ее концевые вершины (листья) являются элементарными, и нет вершин, в которых находятся еще не раскрытые подформулы. Строение замкнутых семантических таблиц для предложенийPrLаналогично строению семантических таблиц дляPLс учетом особенностей для формул с кванторами.

Пример 1.Доказать общезначимость формулы:x(x)x(x), где- предложениеPrL.

 Начнем с таблицы, в корне которой находится f.

В последней вершине семантической таблицы мы использовали ту же самую константу, чтобы получить противоречие. Так разрешается делать, поскольку таблица для x(x) позволяет использовать любую константу.

f

Вершина 1

Вершина 2

Вершина 3

Вершина 4

Вершина 5

(x (x)x (x)

|

t x (x)

|

f x (x)

|

Для всех с

Для всех с

f

Из вершины 3

Из вершины 2

Противоречие между 4 и 5

(c)

|

t (c)

|



Приведенный вывод по Бету означает, что рассмотренное предложение общезначимо, так как все попытки опровергнуть его привели к противоречию.

Пример 2.Построить ЗСТ для общезначимой импликацииx(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x)).

f[x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))]

|

(1)

(2)

(3) из (2)

(4) из (2)

(5) из (4) для новой с₁

(6) из (3) для всех с

(7) из (1) для всех с

tx(P(x)Q(x))

|

f(xP(x)xQ(x))

|

txP(x)

|

fxQ(x)

|

fQ(c₁)

|

tP(c)

|

t (P (c)  Q(c))

| |

fP(c) tQ(c)

| |

 

Примечание.Семантическая таблица дляtx(x) (илиfx(x)) позволяет объявлять формулу(с) истинной (ложной) для всех констант с. Семантическая таблица дляtx(x) позволяет объявлять(с) истинной только для тех констант, которые еще не встречались в семантической таблице.

Следующий пример демонстрирует, что могло бы произойти без этого ограничения.

Пример 3.Рассмотрим предложениеx(x)x(x). Это предложение не общезначимо. Построим семантическую таблицу с корнемf(x(x)x(x)).

f

Вершина1

Вершина 2

Вершина 3

Вершина 4

Вершина 5

(x(x)x(x))

|

tx(x)

|

fx(x)

|

t

Для новой с

Для новой с

(c)

|

f(c)

|



В вершине 5 мы не имели права использовать ту же константу, что и в предыдущей вершине 4. Поэтому нам удалось «доказать», что предложение x(x)x(x) общезначимо, хотя это, очевидно, неверно.

Семантическая таблица может быть бесконечной, если в одной из ее ветвей не удается получить противоречие. Семантические таблицы для формул t(x(x)) иf(x(x)) могут порождать бесконечные ветви, в которых выполняются проверки истинности формулы при последовательных значениях переменнойx.

ЗСТ для предложения может содержать произвольное число ветвей, соответствующих подформулам, и может иметь бесконечное число вершин, тогда как семантические таблицы дляPLвсегда конечны.