8. Геометричне представлення процесу поділу каналів

Безліч (ансамбль) повідомлень i-го джерела інформації утворить багатомірний простір повідомлень . Розмірність цього простору дорівнює

Mпі=T_cF_В

де Тс — тривалість повідомлень, Fв—верхня гранична частота спектра повідомлень.

Канальний передавач, дія якого описується оператором (3.1), здійснює відображення радіусів-векторів простору повідомлень у вектори простору канальних сигналів (мал. 3.2). При цьому в залежності від виду модуляції розмірність простору канальних сигналів, обумовлений як , може виявитися рівної чи більшої розмірності простору повідомлень, тобто

де .

Неважко переконатися, що лінійне підсумовування підпросторів супроводжується відповідним збільшенням числа вимірів простору . Таким чином, у багатоканальних системах розмірність простору  дорівнює сумі розмірностей підпросторів , тобто

Як уже відзначалося, основна умова правильної передачі інформації із систем радіозв'язку - взаємна однозначність прямих і зворотних перетворень повідомлень. Додаткова умова, що безпосередньо випливає з розгляду мал. 3.2, полягає в тому, щоб підпростори не перетиналися в жодній крапці простору , за винятком початку координат. Отже, для поділу канальних сигналів необхідно, по-перше, щоб сума розмірностей підпросторів канальних сигналів не перевершувала розмірності підпростору лінійних повідомлень і, по-друге, щоб самі підпростори не перетиналися в жодній крапці, за винятком початку координат.

Використовуючи встановлені закономірності, зупинимося спочатку для простоти на аналізі багатоканальної системи, лінійне повідомлення якої можна представити радіусом-вектором у тривимірному просторі .Оскільки розмірність простору повинна задовольняти умові граничне число каналів у розглянутій системі дорівнює трьом і, отже,

де - канальні сигнали, що представляються радіусами-векторами в одномірному підпросторі .

Вимоги до канальних сигналів відповідно до можливості їхнього поділу безпосередньо зв'язані з вибором напрямку підпросторів . Ці напрямки легко визначаються, якщо скористатися умовою, що забороняє перетинання підпросторів у всіх крапках, крім початку координат. У даному випадку одномірні підпростори утворюють систему координат, початок який і є єдиною дозволеною крапкою перетинання підпросторів.

З векторного аналізу відомо, що будь-який вектор тривимірного простору можна розкласти по трьох лінійно-незалежних векторах, напрямку , , яких утворять базис у цьому просторі [4], тобто

де - коефіцієнти розкладання, що при заданому базисі визначаються єдиним образом.

Канальні сигнали (3.10) можна представити в такий спосіб:

Одиничний вектор тут визначає напрямок вектора , а коефіцієнт - його довжину.

У тривимірному просторі незалежний-лінійно-незалежні вектори задовольняють умові

тільки при . Якщо існує така лінійна комбінація векторів , що не при всіх , 0, то вектори лінійнонезалежні і їхній не можна використовувати як базис розкладання-вектора .

Розкладання вектора по трьох лінійно-незалежних напрямках у багатоканальної системі є не що інше, як поділ каналів. У тривимірному просторі будь-які три вектори лінійно-незалежні, якщо вони не лежать в одній площині (мал. 3.3). Будь-які чотири вектори тривимірного простору завжди лінійнозалежні, тобто при заданих трьох векторах величину і напрямок четвертого можна підібрати так, щоб сума всіх чотирьох дорівнювала нулю. Умова лінійної незалежності поширюється і на багатомірні простори. На підставі викладеного можна зробити висновок, що для поділу сигналів на прийомній стороні багатоканальної системи необхідно і досить, щоб вони були лінійнозалежними функціями часу.