5. Сигнали

Математично сигнал можна записати у виді

де x(t) модулююче коливання ; _S0 і ω0 - амплітуда і частота синусоїдального коливання (амплітуда і частота несучої); Re - реальна частина вираження, укладеного у фігурні дужки.

Функцію f[x(t)] називають модулюючою, а -сигнальною. Вид функції f[x(t)] визначається обраним законом модуляції. У залежності від її виду сигнал може мати різну форму. Тому що передане повідомлення являє собою випадковий процес, те і функція, модулююча, випадкова. Функція модулююча, змінюється в часі значно повільніше, ніж сигнальна, тому будь-який сигнал являє собою випадкову, повільно мінливу функцію часу, тобто випадковий вузькосмуговий процес. Якщо позначити середню ширину спектра сигналу через , то умова вузькосмугості сигналу запишемо у виді

З обліком сказаного, сигнал зручно представляти у виді коливання

де U(t) і Ф(t) — огинаюча і повна фаза сигналу.

При модуляції що обгинає U(t) чи фаза Ф(t), а в загальному випадку і те й інше, — функції переданого повідомлення. Реальні сигнали мають кінцеву тривалість у часі. Відомо, що будь-яка кінцева в часі функція, у тому числі і сигнал, може бути виражена рядом Фур'є з періодом розкладання Т. Цей період повинний бути таким, щоб функція укладалася в ньому цілком. При цьому дане розкладання функції справедливо лише в межах зазначеного інтервалу. Пояснимо сказане. На мал. 2.9 показана функція часу, що має кінцеву тривалість Тс. Якби функція часу з кінцевою тривалістю була періодичної, те її можна було б представити рядом Фур'є, справедливим на всьому інтервалі часу від t- до t+. У даному випадку функція часу не є періодичної. Умовно продовжимо її вправо і вліво. (Продовження функції показане на мал. 2.9 пунктиром.) Тепер до отриманої функції можна застосувати теорію рядів Фур'є тільки в межах інтервалу часу існування цієї функції.

Рис. 2.9

Отже, будь-який сигнал s(t) кінцевої тривалості Т_с можна розкласти в ряд Фур'є з інтервалом розкладання, рівним чи великої Т_с (TТ_с). Надалі будемо вважати, що інтервал розкладання Т вибирається рівним тривалості дії сигналу Т_с.

В. А. Котельников запропонував форму запису ряду Фур'є, досить зручну для аналізу

Тут коефіцієнти і — ефективні значення відповідних гармонік ряду. Неважко переконатися в тім, що коефіцієнти розкладання у вираженнях (2.39) і (2.43) зв'язані простими співвідношеннями:

Складові з найменшою і найбільшою частотами визначають нижню і верхню граничні частоти спектра сигналу:

Звідси випливає, що ширина спектра сигналу

Таким чином, сигнал із тривалістю Т_с і спектром характеризується незалежними значеннями. Ця величина називається числом ступенів вільності сигналу.

Ця величина являє собою середню питому потужність сигналу, тобто потужність, що розвиває сигнал на опорі 1 ом. Квадратний корінь з питомої потужності сигналу визначає його ефективне значення:

Якщо для ряду сигналів:

s₁(t), s₂(t),…, s_j(t),…,s_n(t) (2.62)

виконується умова

то такі сигнали називаються ортогональними.