3. 2. Поступательное движение твердого тела

Движение абсолютно твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению, называется поступательным.

Основные свойства поступательного движения твердого тела определяются теоремой: При поступательном движении твердого тела все его точки описывают конгруэнтные (одинаковые и при наложении совпадающие) траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно осей Oxyz.

Рис. 3.1

Возьмем в твердом теле две произвольные точки А и В, положение которых в момент t определяется векторами , . Проведем вектор , соединяющий эти точки, тогда:

. (3.1)

Так как тело движется поступательно, то во время его движения отрезок АВ остается параллельным своему первоначальному положению, а потому значения радиус-вектора в любые моменты времени t и t₁ геометрически равны. Вектор во все время движения остается постоянным по величине и направлению, то есть . Из (3.1) и из рис. 3.1 видно, что траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на величину . Следовательно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадать).

Скорость. Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем (3.1) по t: получим

.

Так как , то , тогда . Поэтому

, (3.2)

то есть скорости точек А и В в любой момент времени одинаковы и по модулю и по направлению.

Ускорение. Беря от обеих частей (3.2) производную по t, имеем:

или .

Следовательно, ускорение точек А и В равны по модулю и по направлению.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела траектории, скорость и ускорение в любой момент времени будут одинаковы, то есть теорема доказана.

Из сказанного следует, что движение тела определяется движением ее какой-нибудь точки. Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения точки, где - скорость и - ускорение поступательного движения твердого тела. Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые траектории, в том числе и прямые.

Примером поступательного движения твердого тела является движение спарника АВ, соединяющего пальцы равных кривошипов О₁А и О₂В (рис. 3.2). Все точки спарника описывают окружности радиусом, равным длине кривошипа, имеют одинаковые геометрически равные скорости и ускорения.

Р ис. 3.2

Если ведущий кривошип О₁А вращается равномерно, то ускорение точки А направлено к центру окружности О₁. Ускорения точек В и Д спарника равны по модулю ускорению точки А и направлены тоже к центрам соответствующих окружностей.

3.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

3.3.1. Уравнение движения

Д вижение твердого тела, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета, называется вращательным движением. Эта прямая, точки которой остаются неподвижными, называется осью вращения. Все точки тела, не принадлежащие оси вращения, будут двигаться в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, описывая окружности с центрами на этой оси.

Для определения положения вращающегося тела, выделим на оси вращения положительное направление. Проведем через ось вращения две полуплоскости (рис. 3.3): неподвижную I, и подвижную П, жестко связанную с телом. Тогда положение тела

Рис. 3.3 относительно неподвижной плоскости определится линейным двугранным углом φ между плоскостями I и П. Угол φ, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости I к подвижной полуплоскости П, называется углом поворота. Условимся считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направление против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего с конца оси Az и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Положение твердого тела в любой момент времени, задается зависимостью угла поворота φ от времени t:

φ = φ(t) . (3.3)

Уравнение (3.3) называется уравнением вращательного движения тела или угловой координатой тела. Числовые значения угла поворота выражаются в радианах.

Угол поворота часто выражают числом оборотов N.

φ = 2π N. (3.4)

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.