3.4. Плоское движение твердого тела.
3.4.1. Уравнения плоскопараллельного движения
Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой непод-вижной в рассматриваемой системе отсчета плоскос-ти П, называется плоскопараллельным (ППД), или плоским.
При ППД все точки тела, лежащие на одном перпен-дикуляре к неподвижной плоскости П имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения, так как эта прямая, оставаясь всегда перпендикулярной к плоскости, движет-ся поступательно. Следовательно, для изучения движе-ния точек, лежащих на этом перпендикуляре, достаточно изучить движение одной из них, например точки М. Проведя аналогичные рассуждения для любой другой прямой тела, перпендикулярной плоскости П, видим, что для исследования ППД твердого тела достаточно исследовать движение точек тела, лежащих в какой-либо плоскости П1, параллельной неподвижной плоскости П. То есть достаточно изучить движение плоской фигуры S (рис. 3.12), образуемой сечением тела плоскостью П1.
Рис. 3.12 Рис. 3.13
Положение фигуры S в плоскости по отношению к неподвижной системе координат Oxy определяется поло-жением какого-либо отрезка АВ (рис. 3.13), принадлежа-щего фигуре S. Положение же отрезка АВ задается коор-динатами какой-либо его точки, например, точки А и углом φ, образуемым отрезком с положительным напра-влением оси Ox. Точка А называется в этом случае полюсом.
При движении тела координаты полюса ХА, YА и угол φ изменяются. Таким образом, чтобы знать в каждый момент времени положение тела при его плоском движении достаточно задать три зависимости:
, (3.24)
которые называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела или законом этого движения.
3.4.2. Разложение ппд на поступательное и вращательное движения
Если бы в процессе движения угол φ, образуемый отрезком АВ с осью Ох (рис. 3.13), оставался постоян-ным, то отрезок АВ перемещался бы параллельно самому себе и тело совершало бы поступательное движение, определяемое движением полюса А, то есть двумя первыми уравнениями системы (3.24). Если бы полюс оставался неподвижным, а менялся бы только угол φ, то тело вращалось бы вокруг неподвижной оси, проходящей перпендикулярно плоскости движения через полюс А, докажем это.
Рассмотрим два последовательных
положения I и II, которое занимает
сечение S движущегося тела в моменты
времени t1 и t2 =
t1+Δt . Легко видеть (рис.
3.14), что сече-ние S, а с ним и все тело
можно привести из положения I в
положение II следующим образом.
Переместим сначала тело поступательно
так, чтобы полюс А, двигаясь вдоль
своей траектории, пришел в положение
А2 (при этом отрезок А1В1
займет положение
),
а затем повернем сечение вокруг полюса
А2 на угол
.
Таким же путем можно переместить тело
из положения II в следующее положение
III и т.д.
Рис. 3.14
Отсюда заключаем, что ППД твердого тела пред-ставляет собой сумму двух движений: поступательное вместе с точкой, выбранной за полюс, и вращательного вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости движения.
Поступательное движение описывается первыми двумя уравнениями (3.24), а вращение вокруг полюса третьим из этих уравнений. При ППД меняются как координаты полюса, так и угол.