4. Алгоритмически неразрешимые проблемы: их существование и примеры

Существуют ли какие-нибудь проблемы, для которых невозможно придумать алгоритмы их решения? Утверждение о существовании алгоритмически неразрешимых проблем является весьма сильным – мы констатируем, что мы не только сейчас не знаем соответствующего алгоритма, но мы не сможем никогда принципиально его найти.

Сегодня при доказательстве алгоритмической неразрешимости некоторой задачи принято сводить ее к ставшей классической задаче – «задаче останова» машины Тьюринга.

Имеет место следующая теорема [Макконнелл].

Теорема. Не существует алгоритма (машины Тьюринга), позволяющего по описанию произвольного алгоритма и его исходных данных, при этом и алгоритм и данные заданы символами на ленте машины Тьюринга, определить, останавливается ли этот алгоритм на этих данных или работает бесконечно.

Таким образом, фундаметально алгоритмическая неразрешимость связана с бесконечностью выполняемых алгоритмом действий.

Примеры алгоритмически неразрешимых проблем.

Пример 1. Распределение девяток в записи числа _. Определим функцию _{, где - количество девяток подряд в десятичной записи числа , а - номер самой левой после запятой девятки из девяток подряд. Поскольку , то . Задача состоит в вычислении функции для произвольного .}

_{Поскольку число является иррациональным, мы не знаем распределение девяток, равно как и любых других цифр. Вычисление связано с вычислением последующих цифр в разложении числа до тех пор, пока мы не обнаружим девяток подряд. У нас нет общего метода вычисления , для некоторых вычисления могут продолжаться бесконечно – мы даже не знаем в принципе (по природе числа ) существует ли решение для всех значений .}

_{Пример 2. Вычисление совершенных чисел. Совершенные числа – это числа, которые равны сумме своих делителей, за исключением самого числа, например: 28=1+2+4+7+14. Определим функцию = -ое по счету совершенное число. Задача: вычислить для произвольного . Нет общего метода вычисления совершенных чисел, неизвестно даже, конечно или счетно множество совершенных чисел.}

_{Пример 3. Десятая проблема Гильберта. Пусть задан - многочлен степени с целыми коэффициентами. Существует ли алгоритм, который определяет имеет ли уравнение решение в целых числах. Ю.В.Матиясевич показал, что такого алгоритма не существует, т.е. отсутствует общий метод определения целых корней уравнения по его целочисленным коэффициентам.}

_{Пример 4. Проблема останова машины Тьюринга.}

_{Пример 5. Проблема эквивалентности алгоритмов. По двум произвольным заданным алгоритмам, например, по двум машинам Тьюринга, определить, будут ли они выдавать одинаковые выходные результаты для любых входных данных.}

_{Пример 6. Проблема тотальности. По записи произвольного заданного алгоритма определить, будет ли он останавливаться на всех возможных наборах исходных данных. Другая формулировка этой задачи: является ли частичный алгоритм А всюду определенным алгоритмом?}

_{В теории алгоритмов проблемы, для которых может быть предложен частичный алгоритм их решения, частичный в том смысле, что он возможно, но не обязательно, за конечное количество шагов находит решение проблемы, называются частично разрешимыми проблемами. Например, проблема останова является частично разрешимой проблемой, а проблема эквивалентности и тотальности не являются таковыми.}