Вопросы

1. Когда возникает семейство «похожих» алгоритмов?

2. Всегда ли можно точно построить граф алгоритма, содержащего условные операции? Почему?

3. Можно ли по имеющейся топологической сортировке графа получить топологические сортировки его подграфов? Как это сделать? Когда возникает такая необходимость? Привести пример.

4. Что назыв ется множеством теряемых ребер графа, когда это множество возникает? Привести примеры.

5. Какие вершины графа называются граничными вершинами? Привести примеры.

6. Написать программу, реализующую алгоритм построения топологической сортировки объединения двух графов по имеющимся топологическим сортировкам этих графов.

Литература

1. Воеводин В.В. Параллельные вычисления / В.В.Воеводин, Вл.В.Воеводин. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — 608 с.

2. Харари Ф. Теория графов / Ф.Харари; пер.с англ. В.П.Козырева. — М.: Мир, 1973. — 300 с.

3. Уилсон Р. Введение в теорию графов / Р.Уилсон. — М.: Мир, 1977. — 207 с.

4. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н.Кристофидес. — М.: Мир, 1978. — 432 с.

5. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А.Новиков. — СПб.: Питер, 2006. — 364 с.

6. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы / Б.Н.Иванов. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 288с.

7. Кобозева А.А., Нариманова Е.В. Метод построения топологической сортировки объединения графов, используемый при распараллеливании последовательных алгоритмов / Труды Одесского политехнического университета. – 2006. - №2(26). - С. 156-161.

Лекция 11. Использование операций гомоморфизма при построении топологических сортировок графов

План

1. Операция элементарного гомоморфизма

2. Гомоморфная свертка. Понятие гомоморфного образа, прообраза. Связь топологических сортировок графа и его гомоморфной свертки

3. Использование гомоморфной свертки для упрощения процесса исследования структуры алгоритма

1. Операция элементарного гомоморфизма

Предположим, что для некоторого графа по каким-то причинам вызывает трудности отыскание топологической сортировки с нужными свойствами. Допустим, что прибавляя к этому графу вершины и дуги, можно получить граф, для которого нужная сортировка находится легко. Тогда она может породить требуемую сортировку и для исходного графа.

Заметим, что сам процесс расширения графа можно осуществить в разные моменты времени. Это можно явно делать после построения графа алгоритма. Но можно делать и неявно до построения графа алгоритма, изменяя форму записи алгоритма таким образом, чтобы гарантировать, что полученный в результате этого изменения граф будет расширенным по отношению к исходному.

Кроме расширения графа можно также использовать его сужение,хотя не каждое сужение будет давать хорошие результаты. Однако один тип сужения оказывается очень эффективным. Предположим, что концы некоторой дуги связаны еще каким-то путем. Если мы исключим из графа эту дугу, то очевидно, что множества топологических сортировок исходного и полученного графа будут полностью совпадать (рис.11.1).

Для исследования топологических сортировок полезным оказывается сужение, основанное на операциях гомоморфизма.

Для упрощения исследования топологических сортировок графа информационного процесса полезным оказывается модификация, основанная на операциях гомоморфизма.

Пусть дан ориентированный граф ; — произвольные две вершины графа; . Две вершины заменяются одной новой вершиной . Пусть . Изменим множество ребер исходного графа, результатом чего будет , следующим образом: если очередное ребро в не инцидентно ни одной из вершин , то это ребро просто переносится в ; в противном случае ребро в получается из ребра в заменой вершин новой вершиной . В этом случае говорят, что граф получается из графа с помощью операции элементарного гомоморфизма. Операция элементарного гомоморфизма может привести к появлению циклов, кратных дуг, даже если исходный граф их не имел (рис.11.2). Если после описанной операции исключаются все петли, а все кратные дуги отождествляются, то такая операция называется простым элементарным гомоморфизмом, в противном случае — кратным элементарным гомоморфизмом или элементарным гомоморфизмом.

Рис.11.2. Исходный граф (а); результат кратного элементарного гомоморфизма вершин 2 и 3 (б); результат простого элементарного гомоморфизма (в)