3. Допустимые преобразования алгоритма
Граф алгоритма не накладывает на порядок выполнения операций никаких ограничений, кроме одного: к моменту начала реализации любой операции должны закончить свое выполнение все те операции, которые поставляют для нее аргументы. Таким образом, граф алгоритма определяет некоторое множество допустимых порядков выполнения операций, показывая, как при этом происходит распространение информации.
Утверждение 100. Пусть при выполнении операций ошибки округлений определяются только значениями аргументов операций. Тогда при одних и тех же входных данных все реализации алгоритма, соответствующие одному и тому же графу, дают один и тот же результат, включая всю совокупность ошибок округления, независимо от порядка выполнения операций [Воев].
Доказательство.
Разобьем множество вершин графа алгоритма
на подмножества
,
где
содержит только входные вершины, а в
вершины из множества
входят дуги лишь из вершин, принадлежащих
множествам
.
Независимо от порядка выполнения
операций, каждая из вершин
даст один и тот же результат. Действительно,
аргументами операций являются входные
данные, эти данные не зависят от порядка
выполнения операций. Результаты
выполнения операций в
- входные данные для
,
тогда результаты выполнения операций
в
не будут зависеть от порядка и т.д.
Замечание 100. При реализации алгоритма либо алгоритм в целом, либо отдельные его фрагменты иногда приходится подстраивать под особенности вычислительной техники. Эта подстройка фактически означает преобразование алгоритма. Из утверждения 100 вытекает, что преобразования сохраняют уровень достоверности результатов и, следовательно, являются допустимыми, если эти преобразования сохраняют граф алгоритма.
Вопросы
Почему исследования “классических” последовательных алгоритмов для определения возможности их использования в параллельных вычислительных системах остаются актуальными в настоящее время?
Что такое внутренний параллелизм алгоритма? Любому ли алгоритму присущ внутренний параллелизм?
Что представляет из себя граф информационной зависимости реализации алгоритма?
Какие ограничения накладывает граф алгоритма на порядок выполнения операций?
Какие преобразования алгоритма сохраняют уровень достоверности его результатов?
Литература
Воеводин В.В. Параллельные вычисления / В.В.Воеводин, Вл.В.Воеводин. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — 608 с.
Харари Ф. Теория графов / Ф.Харари; пер.с англ. В.П.Козырева. — М.: Мир, 1973. — 300 с.
Уилсон Р. Введение в теорию графов / Р.Уилсон. — М.: Мир, 1977. — 207 с.
Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н.Кристофидес. — М.: Мир, 1978. — 432 с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А.Новиков. — СПб.: Питер, 2006. — 364 с.
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы / Б.Н.Иванов. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 288с.
Лекция 9. Топологическая сортировка графа
План