5.15. Ошибки математического аппарата и ошибки в формулах

Что написано пером - не вырубишь топором. Наиболее сложные и трудно выявляемые "помехи" - это помехи математического аппарата, используемого во всех разделах современного знания.

Вера в специалистов - математиков тем выше, чем слабее математическая подготовка самого пользователя.

Стремление использовать уже готовые математические модели, прошедшие апробацию и давшие приемлемую точность расчетов, - естественно. Тем более, что школьное образование "убедило" нас в том, что зависимости, включаемые в учебники и справочные пособия отражают точный и высококачественный научный материал. Это многих гипнотизирует. И только накопив достаточно большой практический опыт, мы все более убеждаемся в том, что выбор математического аппарата, адекватного решаемой проблеме, - это сложнейший и, часто, рискованный шаг любого информационного решения.

Выбор осложняется тем, что во многих методических разработках приводятся конечные результаты математических построений и далеко не всегда указывается, какие допущения сделаны в процессе выводов, отсутствуют промежуточные выкладки, приводящие к конечным зависимостям.

В одной из работ, определяющих колебательные процессы подвижных транспортных комплексов, описание моделируемого процесса было задано системой из 320 сложнейших дифференциальных уравнений. После чего в отчете, состоявшем почти из 400 страниц, приводились все исходные допущения, ограничения и условия, позволявшие произвести упрощения расчетной схемы. Конечный результат: система была сведена к трем уравнениям, для решения которых предлагалось использовать графические методы. При этом утверждалось, что полученные зависимости позволяют снизить число вариантов расчетов, которые должны просчитываться по более сложным зависимостям, приведенным в этом же отчете. В отчете гарантировалось отыскание оптимального проектного решения для подвижных комплексов различного назначения.

Не иронизируя над данной работой (тем более, что ее автор был руководителем большого коллектива проектировщиков в те времена, когда основным средством вычислений были логарифмическая линейка и различные типы ручных и электрических арифмометров), необходимо отметить, что данная работа является редким примером отчета, в котором приведен весь процесс преобразования исходной системы уравнений в конечные рабочие формулы, используемые при проектировании. С ними можно соглашаться или нет (это вопрос квалификации пользователя), но каждый может пройти весь путь вывода, и обосновано принять решение о применении или не применении методики.

Более частым случаем является ситуация, когда приводятся исходные зависимости, а после "очень сильного" довода: "как легко доказать" - приводится конечный результат, проверить который фактически невозможно (а, посему, хочешь - пользуй, хочешь - нет: риск за пользователем).

В принципе и в настоящее время широкого применения ЭВМ в проектных и исследовательских работах нельзя забывать существовавшее всегда требование на ЗАПРЕТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГОТОВЫХ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ БЕЗ ПРОВЕРКИ ИХ ПРАВИЛЬНОСТИ. Более жесткая постановка требует наличия (вывода) двух - трех расчетных схем, по которым проводился счет в одну (две и более) "руки". А результаты принимались за основу только в тех случаях, если расхождение между конечными результатами не превышали некоторых заданных отклонений.

На начальных этапах создания алгоритмов для ЭВМ в их описание обязательно включались не только контрольные примеры, но оценки точности расчетов, а некоторые виды расчетов не принимались, если они не сопровождались распечатками программ и описанием алгоритмов. При кажущейся "наивности" приводимых требований, за ними стоял накопленный опыт трагических последствий использования неправильного математического аппарата (рухнувшие здания, мосты, разбившиеся самолеты, неудачные пуски ракет, крупнейшие финансовые аферы).

По мере все более широкого внедрения ПЭВМ с их мощным программным обеспечением, да еще "прикрытым" именами более чем уважаемых разработчиков, "недоверие" к стандартным процедурам исчезает (снижается). Все большее число пользователей использует имеющееся программное обеспечение "не задумываясь" о возможных последствиях (не зная какие методы, алгоритмы, расчетные зависимости, допущения и ограничения заложены в используемый программный комплекс) даже в тех случаях, когда используется "пиратская" копия и отсутствует полная документация по программному комплексу.

Все это может привести к существенным отрицательным последствиям - СОЗДАНИЮ АБСОЛЮТНО НЕДОСТОВЕРНЫХ информационных ресурсов, действительное качество которых невозможно оценить даже при условии применения сложных математических методов и мощнейших вычислительных средств.

Важнейшей структурной составляющей данного вида помех является ошибочное написание расчетных зависимостей в опубликованных документах.

Афоризм о том, что "можно умереть от опечатки, если она сделана в рецептурном справочнике", отражает суть данного вида "помех".

Условно безошибочными можно считать только таблицы логарифмов после пятого издания (хотя это утверждение еще никто не доказал). Например, в третьем издании книги [Кожевников С.Н.,Есиненко Я.И.,Раскин Я.М.Механизмы.-М.: Машиностроение,1965] 22 обнаруженных ошибки и почти все они сделаны в формулах. В восьмом издании орфографического словаря русского языка [Орфографический словарь русского языка - около 104000 слов. Изд.8-ое,-М.: Сов.энциклопедия,1968,618 с.] перечень замеченных опечаток-18.

В Энциклопедическом словаре [Энциклопедический словарь. В 3-х томах,-М.: Большая Советская энциклопедия,1953-1955.] перечень замеченных ошибок и опечаток -31, из них:

• ошибки в числовых данных 19, в том числе многие составляют несколько порядков от исходной величины;

• ошибки в датах от дней до нескольких десятилетий.

В этом смысле вызывает недоумение почти полное исчезновение листков с "Выявленными опечатками" в справочной литературе последних лет. Это вряд ли свидетельствует о резком повышении качества редактирования специальной литературы и точности авторских рукописей.

Для примера, ниже приводится случайная выборка из 40 справочных изданий:

• книг с вложенным листком "опечатки"-8;

• количество выявленных опечаток - от 4 до 162.

Среди указанных книг следует выделить следующие:

1. [Брукс К.,Каразерс Н. Применение статистических методов в метеорологии. -Л.: Гидрометеоиздат,1963,415 с.], к которой приложена брошюра"Исправления" с числом замеченных опечаток-96.

2. [Никифоров Н.С.Курс строительной механики. Ч.II. Сопротивление материалов. Изд.2,-М.: Гос.изд. литературы по строительству, архитектуре, и строительным материалам] содержит перечень из 25 опечаток, из них- 8 в формулах, а размерность одной из величин задана в "Т" вместо "КГ".

3. [Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения. -М.: Машиностроение,изд.2,1964] число замеченных опечаток -18, из них 15 в формулах, а остальные в обозначениях и значениях расчетных коэффициентов.

4. [Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. -М.: Гос.изд. литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам,1960] содержит 162 исправления и опечатки из них 60 в формулах. Некоторые приводят к ошибкам в 100 и более раз.

Эта любительская выборка должна быть своеобразным предупреждением, что напечатанная формула требует такого же тщательного анализа на достоверность, как любое сообщение. Тем более что последствия ошибок могут иметь тяжелые последствия, ибо в формулах за каждым индексом, знаком, символом стоит более глубокий смысл, чем за ошибкой в слове, которое содержит значительную избыточность и может быть восстановлено по смыслу. Выборка является своеобразным предупреждением каждому, кто только начинает свой путь в принятии ответственных информационных решений.

Если проанализировать ошибки, то можно увидеть, что наибольшее число ошибок в пропуске и добавлении членов расчетных зависимостей, степенях чисел и их знаках и прочее.

Если учесть, что приведены ошибки в справочных пособиях, то можно ожидать, что эти ошибки "размножились и расползлись" по многим учебным пособиям и методикам.

А сколько необнаруженных ошибок "скитается" по изданиям, построенным на основании цитирования и заимствования из плохо отредактированных источников, и многократно наносящим свой (малый или большой) ущерб.

Известен случай, когда изменение в документации на производственный допуск массового изделия в значении предельного значения допуска используемого стального листа на 0,1 мм нанесло миллионные (рублях до 1960 г) убытки и привело к не единичным человеческим жертвам.