3.6Решение типовых задач

На три товарных базы А1, А2 и А3 поступил однородный товар, который требуется четырем заказчикам В1, В2, В3 и В4. Потребности заказчиков и запасы каждой базы в условных единицах, а также тарифы (стоимость в рублях перевозки единицы груза с данной базы данному заказчику) указаны в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Базы	Заказчики
	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	1	4	5	11	300
А2	12	8	3	14	320
А3	10	15	7	9	380
Потребности	250	200	290	260	1000

Требуется спланировать перевозки с наименьшей суммой их стоимости.

Решение

1. Строим транспортную таблицу по условиям задачи и составляем первоначальный опорный план.

Метод Северо-Западного угла

В клетку А1-В1 помещаем min(300,250)=250. Это запас – заполняем нулями остаток столбца. Верхний левый элемент оставшейся части матрицы – клетка А1-В2. Значение перевозки в ней равно min(300–250,250)=50. Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. Верхний левый элемент оставшейся части матрицы – клетка А2-В2. Значение перевозки в ней равно min(200–50,320)=150. Это – остаток по потребности, поэтому заполняем нулями остаток столбца. Верхний левый элемент оставшейся части матрицы – клетка А2-В3. Значение перевозки в ней равно min(320–150,290)=170. Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. Верхний левый элемент оставшейся части матрицы – клетка А3-В3. Значение перевозки в ней равно min(290–170,380)=120. Это – остаток по потребности, поэтому заполняем нулями остаток столбца (остатка столбца уже нет). Последний элемент в оставшейся части матрицы – клетка А3-В4. Значение перевозки в ней равно min(380-120,260)= 260. Полученный опорный план представлен на рис. 3.3. Стоимость перевозок по нему

F=2501 + 504 + 1508 + 1703 + 1207 + 2609 =5340

Базы	Потребители								Запасы
	B1		B2		В3		B4
A1		1		4		5		11	300
	250		50		0		0
A2		12		8		3		14	320
	0		150		170		0
A3		10		15		7		9	380
	0		0		120		260
Потребности	250		200		290		260		1000

Рис. 3.3. Нахождение опорного плана ТЗ по методу Северо-Западного угла

Метод минимальной стоимости

Нумеруем клетки таблицы по возрастанию тарифа (номер клетки укажем в скобках под тарифом). В клетку с номером (1) (это А1-В1) помещаем min (300,250)=250. Это запас – заполняем нулями остаток столбца. Клетка с наименьшим номером (2) в оставшейся части матрицы – клетка А2-В3. Значение перевозки в ней равно min (290,320)=290. Это – остаток по потребности, поэтому заполняем нулями остаток столбца. Клетка с наименьшим номером (3) оставшейся части матрицы – А1-В2. Значение перевозки в ней равно min (300-50,200)=50. Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. Клетка с наименьшим номером (6) в оставшейся части матрицы – А2-В2. Значение перевозки в ней равно min (320-290,200-50)=30. Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. Клетка с наименьшим номером (7) оставшейся части матрицы – А3-В4. Значение перевозки в ней равно min (260,380)= 260. Это – остаток по потребности, поэтому заполняем нулями остаток столбца (остатка столбца уже нет). Последний элемент в оставшейся части матрицы – клетка А3-В3. Значение перевозки в ней равно min (200-50-30,380-260)=120. Полученный опорный план представлен на рис. 3.4. Стоимость перевозок по нему:

F=2501 + 504 + 308 + 2903 + 12015 + 2609 =5700

Базы	Потребители									Запасы
	B1		B2		B3			B4
A1		1		4			5		11	300
	250	(1)	50	(3)	0		(4)	0	(9)
A2		12		8			3		14	320
	0	(10)	30	(6)	290		(2)	0	(11)
A3		10		15			7		9	380
	0	(8)	120	(12)	0		(5)	260	(7)
Потребности	250		200			290		260		1000

Рис. 3.4. Нахождение опорного плана ТЗ по методу минимальной стоимости

Метод двойного предпочтения

Помечаем галочкой клетку с наименьшим тарифом в каждом столбце. Это клетки А1-В1, А1-В2, А2-В3, А3-В4. Затем помечаем галочкой клетку с наименьшим тарифом в каждом строке. Это клетки А1-В1, А2-В3, А3-В3. Начинаем заполнять таблицу с клетки с двумя галочками. Их две – А1-В1 и А2-В3 в А1-В1. Помещаем в нее min (300,250)=250. Это запас – заполняем нулями остаток столбца. Клетка с двумя галочками в оставшейся части матрицы – клетка А2-В3. Значение перевозки в ней равно min (290,320)=290. Это – остаток по потребности, поэтому заполняем нулями остаток столбца. Клеток, помеченных одной галочкой в оставшейся части две – А1-В2 и А3-В4. Наименьший тариф в А1-В2. Значение перевозки в этой клетке равно min (300-50,200)=50. Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. В оставшейся части матрицы осталась одна клетка с галочкой – А3-В4. Значение перевозки в ней равно min (260,380)=260. Это – остаток по потребности, поэтому заполняем нулями остаток столбца. Оставшиеся 4 незаполненных клетки обрабатываем по методу минимальной стоимости (номера указываем в скобках под тарифом). Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. Клетка с наименьшим тарифом (1) оставшейся части матрицы – А2-В2. Значение перевозки в ней равно min (320-290,200-50)=30. Это – остаток запаса, поэтому заполняем нулями остаток строки. Последний элемент в оставшейся части матрицы – клетка А3-В2. Значение перевозки в ней равно min (200-50-30,380-260)=120. Полученный опорный план представлен на рис. 3.5. Заметим, что, несмотря на другой порядок заполнения, он совпадает с опорным планом, который получен методом минимально стоимости и стоимость перевозок по нему

F=2501 + 504 + 308 + 2903 + 12015 + 2609 =5700

Из трех полученных планов наименьшую стоимость имеет план, полученный методом Северо-Западного угла. Выберем его для первоначального плана метода потенциала.

Базы	Потребители								Запасы
	B1		B2		B3		B4
A1		1		4		5		11	300
	250	VV	50	V	0		0
A2		12		8		3		14	320
	0		30		290	VV	0
A3		10		15		7		9	380
	0		120		0	V	260	V
Потребности	250		200		290		260		1000

Рис. 3.5. Нахождение опорного плана ТЗ по методу двойного предпочтения

Составляем по занятым клеткам транспортной таблицы уравнения потенциалов

U₁+V₁=1

U₁+V₂=4

U₂+V₂=8

U₂+V₃=3

U₃+V₃=7

U₃+V₄=9.

Задаем U₁=0 и разрешаем систему уравнений. Значения вычисленных потенциалов следующие:

V₁=1

V₂=4

U₂ =4

V₃=–1

U₃ =8

V₄=1.

Далее вычисляем косвенные тарифы в незанятых клетках как суммы соответствующих потенциалов:

c^*₁₃=U₁+V₃=0 – 1 =–1

c^*₁₄=U₁+V₄=0 + 1 = 1

c^*₂₁=U₂+V₁=4 + 1 = 5

c^*₂₄=U₂+V₄=4 + 1 = 5

c^*₃₁=U₃+V₁=8 + 1 = 9

c^*₃₂=U₃+V₂=8 + 4 =12.

Для определения оптимальности плана вычисляем разности между косвенным и прямым тарифами в незанятых клетках и определяем их знаки.

c^*₁₃ – c₁₃ = – 1 –5 = –6

c^*₁₄ – c₁₄ =1 – 11 = –10

c^*₂₁ – c₂₁= 5 – 12 = –7

c^*₂₄ – c₂₄= 5 – 14 = –9

c^*₃₁ – c₃₁= 9 –10 = –1

c^*₃₂ – c₃₂=12 – 15 = –3.

Все разности отрицательны, следовательно, этот план оптимален.

Базы	Потребители								Запасы
	B1		B2		В3		B4
A1		1		4		5		11	300
	250		50		0		0
A2		12		8		3		14	320
	0		150		170		0
A3		10		15		7		9	380
	0		0		120		260
Потребности	250		200		290		260		1000

Рис. 3.6. Опорный план ТЗ, построенный по методу минимальной стоимости

Рассмотрим решение этой же задачи, взяв за первоначальный опорный план, полученный другими методами (по методам минимальной стоимости и двойного предпочтения мы получили один и тот же план, представленный на рис. 3.6).

Решение 2

Составляем по занятым клеткам транспортной таблицы уравнения потенциалов

U₁+V₁=1

U₁+V₂=4

U₂+V₂=8

U₂+V₃=3

U₃+V₂=15

U₃+V₄=9.

Задаем U₁=0 и разрешаем систему уравнений

V₁=1

V₂=4

U₂ =4

V₃= –1

U₃ =11

V₄= –2.

Вычисляем косвенные тарифы в незанятых клетках

c^*₁₃=U₁+V₃=0 – 1 = –1

c^*₁₄=U₁+V₄=0 – 2 = –2

c^*₂₁=U₂+V₁=4 + 1 = 5

c^*₂₄=U₂+V₄=4 – 2 = 3

c^*₃₁=U₃+V₁=11 + 1 = 12

c^*₃₃=U₃+V₃=11 –1 =10.

Вычисляем разности между косвенным и прямым тарифами в незанятых клетках

c^*₁₃ – c₁₃ = – 1 –5 = –6

c^*₁₄ – c₁₄ = –2 – 11 = –12

c^*₂₁– c₂₁= 5 – 12 = –7

c^*₂₄ – c₂₄= 3 – 14 =–11

c^*₃₁ – c₃₁= 12 –10 =2

c^*₃₃ – c₃₃=10 – 7 = 3.

Разности c^*₃₁ – c₃₁ и c^*₃₃ – c₃₃ положительны, то есть план не оптимален. В c^*₃₁ – c₃₁=2 меньше, чем c^*₃₃ – c₃₃=3, значит клетка А3/В3 выбирается для загрузки, как клетка с максимальной положительной разностью между косвенным и прямым тарифами.

Базы	Потребители									Запасы
	B1		B2			B3		B4
A1		1		4			5		11	300
	250		50
A2		12	+	8			3		14	320
			30		290
A3		10		15			7		9	380
			 120		+			260
Потребности	250		200			290		260		1000

Рис. 3.7. Нахождение цикла и перераспределение груза (первый план)

Помечаем эту клетку знаком + и находим цикл (отметим его в таблице) линиями. Проставим в вершинах цикла знаки – и +. В клетках, отмеченных знаком –, стоят перевозки 120 и 290. Выбираем из них наименьшую и перераспределяем этот груз по циклу, получая новый опорный план.

Базы	Потребители								Запасы
	B1		B2		B3		B4
A1		1		4		5		11	300
	250		50
A2		12		8		3		14	320
			150		170
A3		10		15		7		9	380
					120		260
Потребности	250		200		290		260		1000

Рис. 3.7. Оптимальный план ТЗ

Повторяем для него алгоритм, начиная с пункта 2.

Составляем по занятым клеткам транспортной таблицы уравнения потенциалов

U₁+V₁=1

U₁+V₂=4

U₂+V₂=8

U₂+V₃=3

U₃+V₃=7

U₃+V₄=9.

Задаем U₁=0 и разрешаем систему уравнений. Получаем

V₁=1

V₂=4

U₂ =4

V₃= –1

U₃ =8

V₄=1.

Вычисляем косвенные тарифы в незанятых клетках

c^*₁₃=U₁+V₃=0 – 1 =-1

c^*₁₄=U₁+V₄=0 + 1 = 1

c^*₂₁=U₂+V₁=4 + 1 = 5

c^*₂₄=U₂+V₄=4 + 1 = 5

c^*₃₁=U₃+V₁=8 + 1 = 9

c^*₃₂=U₃+V₂=8 + 4 =12.

Вычисляем разности между косвенным и прямым тарифами в незанятых клетках

c^*₁₃ – c₁₃ = – 1 –5 = –6

c^*₁₄ – c₁₄ =1 – 11 = –10

c^*₂₁– c₂₁= 5 – 12 = –7

c^*₂₄ – c₂₄= 5 – 14 = –9

c^*₃₁ – c₃₁= 9 –10 = –1

c^*₃₂ – c₃₂=12 – 15 = –3.

Все разности отрицательны, следовательно, этот план оптимален.