2.3Решение типовых задач

Для изготовления различных изделий А и В используется три вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить 2 кг сырья первого вида, 1 кг сырья второго вида, 3 кг сырья третьего вида. На производство единицы изделия В требуется затратить соответственно 1,5 и 0 кг сырья первого, второго и третьего вида. Производственные запасы сырья первого вида составляют 150 кг, второго вида – 200 кг и третьего вида – 200 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 7,5 руб., готового изделия В – 3 руб.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Дать геометрическое истолкование задачи и решить ее графически.

Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц.

Решение задачи

Графическое решение

Составляем ЗЛП по условиям задачи. Обозначим за x₁ – объем производства продукции А, за x₂ – объем производства продукции В. Тогда целевая функция F, отображающая стоимость всей произведенной продукции, может быть записана как

F=7,5x₁+3x₂max.

Ограничения по ресурсам запишутся в виде неравенств

2x₁+x₂150

x₁+5x₂200

3x₁ 200

при x₁,x₂

Рассчитаем точки для построения прямых ограничений (рис. 2.2).

2x1+x2=150

x1+5x2=200

3x1=200

x1	x2	x1	x2	x1	x2
0	150	0	40	66,6	20
75	0	200	0	66,6	40

Рис. 2.2. Расчет точек для построения линий ограничений

Граничные условия (неотрицательность переменных x₁ и x₂) определяются первым координатным углом. Поскольку знаки всех неравенств меньше или равно (при положительном коэффициенте при x₂), то область под графиками всех прямых ограничений и ограниченная осями координат есть ОДР данной задачи.

Строим прямую нулевого уровня целевой функции 7,5x₁+3x₂ =0 (рис. 2.3).

7,5x1+3x2=0
x1	x2
0	0
-4	10

Рис. 2.3. Расчет точек линии нулевого уровня целевой функции

Переносим линию целевой функции во все вершины ОДР и определяем точку, в которой она проходит выше, чем в других (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Графическое решение ЗЛП

Это точка пересечения прямых, заданных уравнениями 2x₁+x₂=150 и 3x₁=200. Решив систему из этих уравнений, получаем координаты этой точки x₁= и x₂=. Это значит что для оптимального решения нужно выпустить 66,66 кг продукции А и 16,66 кг продукции В. Стоимость произведенной продукции равна

F=7,566,66+316,66= 594,98 руб.

и показывает максимально возможную прибыль при данных условиях.

Решение ЗЛП симплекс-методом с использованием симплекс таблиц

Приводим общую ЗЛП

F=7,5x₁+3x₂max

2x₁+x₂150

x₁+5x₂200

3x₁ 200

при x₁,x₂

к каноническому виду, добавляя в левые части неравенств дополнительные переменные

F=7,5x₁+3x₂max

2x₁+x₂+x₃=150

x₁+5x₂ + x₄=200

3x₁ + x₅ =200

при x_i, i=1…5

и записываем ее в виде 0-уравнений

F=0 – (–7,5x₁ – 3x₂)

x₃=150 – (2x₁+x₂)

x₄=200 – (x₁+5x₂)

x₅ =200 – (3x₁)

Заполняем первую симплекс-таблицу (рис. 2.5).

Базисные переменные	Вектор свободных членов	Переменные ЗЛП
		x1	x2	x3	x4	x5
x3	150	2	1	1	0	0
x4	200	1	5	0	1	0
x5	200	3	0	0	0	1
Индексы в целевой функции	0	-7,5	-3	0	0	0

Рис. 2.5. Первая симплекс-таблица ЗЛП

В индексной строке таблицы есть отрицательные значения, значит, данный план не оптимален. Переходим к построению новой таблицы.

Ищем разрешающий столбец. Максимальное по модулю из отрицательных значений это –7,5. Оно определяет разрешающий столбец таблицы x₁ (в новой таблице эта переменная перейдет в базис).

Для нахождения разрешающей строки таблицы составляем отношения элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца и находим из них наименьшее

min (150/2, 200/1,200/3)=200/3=66,6.

Это значение определяет разрешающую строку таблицы x₅.

Разрешающий элемент таблицы находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки (x₅./ x₁) и равен 3.

Переходим к новой симплексной таблице.

В ней вместо переменной x₅ в базисе появилась переменная x₁. Строка, соответствующая новой базисной переменной в новой таблице, получается из разрешающей строки предыдущей таблицы делением ее элементов на разрешающий элемент, равный 3.

Другие строки вычисляются согласно пункту 11 приведенного выше алгоритма симплекс-метода. Например, элемент на пересечении строки x₃ и столбца свободных членов равен

150 – (2002)/3,

элемент на пересечении строки x₃и столбца x₁ равен соответственно

1 – (20)/3 и т.д.

Вторая симлекс-таблица имеет вид (рис. 2.6):

Базисные переменные	Вектор свободных членов	Переменные ЗЛП
		x1	x2	x3	x4	x5
x3	16,66	0	1	1	0	-0,66
x4	133,33	0	5	0	1	-0,66
x1	66,66	1	0	0	0	0,33
Индексы в целевой функции	500	0	-3	0	0	2,5

Рис. 2.6. Вторая симплекс таблица ЗЛП

Этот план тоже не оптимальный – в индексной строке есть отрицательное значение. Повторяем алгоритм снова и в результате получаем третью таблицу (рис. 2.7).

Базисные переменные	Вектор свободных членов	Переменные ЗЛП
		x1	x2	x3	x4	x5
x2	16,66	0	1	1	0	-0,66
x4	50,03	0	0	-5	1	2,64
x1	66,66	1	0	0	0	0,33
Индексы в целевой функции	594,98	0	0	3	0	0,52

Рис. 2.7. Оптимальный план решения ЗЛП

Этот план оптимален. Значения базисных переменных x₁ и x₂ равны соответственно 66,66 и 16,66, значения добавленных переменных x₃ и x₄ равно 0. Значение целевой функции равно 594,98. Полученное симплекс-методом решение ЗЛП полностью совпадает с решением задачи, полученным графически.