1.3Оптимизационные модели
Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.
Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.
Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений и граничных условий, определяющих эту область. Целевая функция в самом общем виде, в свою очередь, также состоит из трех элементов:
управляемых переменных;
неуправляемых переменных;
формы функции (вида зависимости между ними).
Область допустимых решений (ОДР) – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений, – совокупность точек, удовлетворяющих ограничениям и граничным условиям. Граничные условия задают интервалы, в которых ищется решение, ограничения – зависимости между переменными. В экономических задачах ОДР ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств. Если эта система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой.
Ограничения в оптимизационных задачах подразделяются:
а) на линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рис. 2.1);
б) детерминированные (А, В) и стохастические (группы кривых Сi) (рис. 2.2). Детерминированные ограничения жестко определены. Стохастические ограничения являются возможными, вероятностными, случайными.
Рис. 1.2. Линейные и нелинейные ограничения |
Рис. 1.3. Детерминированные и стохастические ограничения |
Оптимизационные задачи решаются методами математического программирования, главная задача которого – нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств. Методы математического программирования подразделяются на линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, целочисленное программирование, выпуклое программирование, исследование операций, геометрическое программирование и др.
В дальнейшем мы будем рассматривать методы линейного программирования.
2Задача распределения ресурсов
Современная экономическая наука, как на микро-, так и на макроуровне, включает в себя как необходимый элемент математические модели и методы. Их применение позволяет выделять и формально описывать наиболее важные существенные связи экономических переменных и объектов, дает возможность получать выводы, адекватные изучаемым экономическим объектам, процессам, явлениям. О значении и оценке мировым научным сообществом данного направления можно судить по количеству лауреатов Нобелевской премии по экономике, проводивших свои исследования на стыке экономики и математики. Нобелевская премия по экономике начала присуждаться с 1969 г. Лауреатами этой премии, по нашим подсчетам, стали 36 выдающихся ученых-экономистов, в том числе 26 ученых-экономистов за исследования на стыке экономики и математики. Наиболее существенный вклад в теорию оптимального распределения ресурсов с созданием соответствующих моделей внесли Л. В. Канторович 1 и Т. Купманс.
Ресурсы экономического объекта – это совокупность поступающих в него материальных и нематериальных потоков, преобразование которых состоит в выпуске продукции. К основным ресурсам предприятия относятся сырье, трудовой резерв, фонд рабочего времени, производственные мощности, информация и т.д. Распределение ресурсов в экономических задачах может быть различно. Каждый вариант распределения отличается от других своей эффективностью. Решение, обеспечивающее наилучшее или наиболее эффективное распределение, называется оптимальным. Оптимальность решения всегда понимается в одном строго определенном смысле. Правило или условие, степень выполнения которого отвечает оптимальности решения задачи, называется критерием оптимальности и выражается целевой функцией ОМ.