3Оптимизация распределения грузовых перевозок

Важным применением методов линейного программирования является задача планирования перевозок или транспортная задача (ТЗ). Это специальная ЗЛП, постановка которой звучит следующим образом.

3.1Постановка транспортной задачи

Некий однородный продукт содержится у N поставщиков. Обозначим за A_i i-того поставщика или базу, a_i – количество продукта на i-той базе. Продукт необходимо поставить M-потребителям. Обозначим j-того потребителя или заказчика B_j, а количество необходимого ему продукта (заказ) b_j.

Известна стоимость перевозки единицы товара от i-того поставщика к j-тому потребителю – c_ij. Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы, удовлетворить все заказы, и имеющий минимальную стоимость.

Обозначив за х_ij количество товара, которое перевозится от i-того поставщика к j-тому потребителю, можно записать стоимость всех перевозок как

Условие полного вывоза всех грузов запишется как

(3.2)

где – сумма грузов вывезенных с i-той базы на всех потребителей.

Условие полного выполнения всех заказов запишется как

(3.3)

где – сумма грузов вывезенных на j-того потребителя со всех поставщиков.

С учетом неотрицательности объемов перевозимых грузов, математическая постановка ТЗ будет выглядеть следующим образом:

3.2Виды транспортной задачи

Рассмотрим возможные соотношения суммарного запаса и суммарной потребности

1. С уммарный запас превышает суммарную потребность

2. С уммарный запас меньше суммарной потребности

3. С уммарный запас и суммарная потребность равны

В первых двух случаях задача называется открытой ТЗ (задачей с неправильным балансом). В последнем случае задача называется закрытой ТЗ (задачей с правильным балансом).

Закрытая ТЗ всегда имеет решение. Открытая ТЗ решается приведением к закрытой. Для этого вводят фиктивного потребителя (в случае 1) или поставщика (в случае 2), соответственно списывая в его потребность или в его запас разницу между суммарной потребностью и суммарным запасом. Тарифы перевозок по введенному поставщику или потребителю берутся равными 0.

Далее мы будем рассматривать решение только закрытой ТЗ

3.3Общий вид транспортной таблицы

Транспортная задача как ЗЛП имеет размерность n x m, что делает ее решение симплексным методом слишком трудоемким. Для решения ТЗ существует специальный метод, реализующий симплексный подход, а именно – метод решения ТЗ с применением транспортных таблиц. Общий вид транспортной матрицы или таблицы представлен на рис. 3.1.

Базы	Потребители							Запасы
	B1		B2		….	Bm
A1		c11		c12	….		c1m	a1
	x11		x12		….	x1m
A2		c21		c22	….		c2m	a2
	x21		x22		….	x2m
…..	….		….		….	….		….
An		cn1		cn2	….		cnm	an
	xn1		xn2		….	xnm
Потребности	b1		b2		….	bm

Рис. 3.1. Общий вид транспортной матрицы

В транспортной таблице отображаются условия задачи: в правом верхнем углу клетки проставляется прямой тариф перевозки c_ij, в строке «Потребности» – запас каждого потребителя b_j, в столбце «Запасы» – запас каждой базы a_i. Планируемые перевозки от баз к потребителям x_ij, проставленные в сами клетки, составляют опорный план задачи. Каждый опорный план перевозок должен удовлетворять балансовым соотношениям (3.2)-(3.3).