0. 3.7 Нахождение оптимального плана тз (оптимального решения)

Известны два наиболее популярных метода решения ТЗ:

- распределительный метод;

- метод потенциалов.

Прежде, чем перейти к рассмотрению этих методов дадим некоторые понятия и определения, общие для этих методов.

3.7.1 Цикл пересчета тт для нахождения оптимального плана

bj ai	b + 1	b + 2	b3	b4	b5	b6
a1	C 11	C 12	C + 13	C14	C - 15	C16
a2	C - 21	C + 22	C 23	C24	C 25	C26
a3	C31	C32	C33	C + 34	C + 35	C - 36
a4	C41	C42	C43	C - 44	C45	C + 46
a5	C51	C52	C - 53	C54	C55	C56

Рисунок 1

Циклом пересчета ТТ будем называть ломанную замкнутую линию с вершинами в клетках и звеньями, которые в каждой клетке совершает поворот на 90 градусов, двигаясь вдоль строк и столбцов таблицы и удовлетворяют следующим условиям:

- ломанная должна быть связной, т.е. из любой её вершины можно попасть в другую вершину по звеньям ломанной;

- в каждой вершине встречаются два звена, одно располагается по строке, другое по столбцу.

На рисунке 1 изображены два цикла:

- первый содержит четыре вершины и является самым простым

- второй сложный и имеет восемь вершин.

Число вершин в цикле всегда четное, обычно это 4,6, или 8 вершин; направление хода пересчета принято производить по часовой стрелке.

Цикл пересчета составляется по базисным клеткам (по заполненным), но одна из вершин цикла лежит в свободной клетке, для которой собственно и делается пересчёт.

Цикл пересчета называется означенным, если в его вершинах расставлены «+» и «-» так, что в свободной клетке, для которой делается пересчет, ставится «+», а соседние вершины имеют противоположные знаки.

Перевезти какое – то количество груза по циклу (пересчитать цикл), значит увеличить поставки, стоящие в «+» вершинах, а в «-» вершинах уменьшить на это же количество. При таком пересчете равновесие между поставками и заявками не изменится, опорный план останется опорным (допустимым), но он корректируется и при каждом пересчете приближается к оптимальному, т.е. общая стоимость перевозок после каждого пересчета должна уменьшаться.

Опорным планом является любой допустимый план задачи, состоящий из базисного распределения поставок; таким образом, мы будем переходить от одного базисного решения к другому, приближаясь к оптимальному решению, что аналогично решению по симплексному методу.

Существует теорема: для каждой свободной клетки базисного распределения поставок существует и притом единственный, цикл пересчета, причем операция означивания цикла является корректной.

Ценой цикла является алгебраическая сумма тарифов, стоящих в вершинах, причем тарифы в «+» вершинах считаются со знаком «+», а в «-»вершинах со знаком «-».

На рисунке 1 для первого простого цикла его цена:

Для второго сложного цикла:

При перемещении одной единицы груза по циклу стоимость перевозки увеличивается или уменьшается на величину (на цену). При перемещении к единиц груза стоимость перевозок увеличивается или уменьшается на величину .

Для улучшения плана ТЗ имеет смысл перемещать поставки только по тем циклам, цена в которых отрицательна, т.к. в этом случае <0, и соответственно <0, и общая стоимость перевозок уменьшится на величину .

Выводы: (они относятся к п.3.7.2)

1. Будем строить циклы только для тех свободных клеток, цена которых отрицательна, причем все вершины цикла будут лежать в базисных клетках, кроме одной положительной вершины, которая находится в свободной клетке и для которой делается пересчет.

2. При пересчете цикла одну свободную переменную заменяют на базисную, т.е. заполняют одну свободную клетку и освобождают одну из базисных, причем число базисных клеток всегда должно быть равно m+n-1.

3. Критерием оптимальности ТЗ является неотрицательность цен для всех циклов свободных клеток. Если же цена свободной клетки отрицательна, то план можно улучшить, перемещая k единиц груза по циклу, составленному для данной свободной клетки.

4. Количество k перевозимого груза определяется как минимальное значение из значений, стоящих в отрицательных вершинах.