8. Метод потенциалов для нахождения оптимального решения тз (метод потенциалов)

Распределительный метод обладает одним, но существенным недостатком: для того, чтобы доказать, что решение оптимальное, нужно отыскать все циклы для свободных клеток и просчитать их цены, если таких клеток много, то процесс становится трудоемким.

Кроме того, при автоматизации процесса нахождения оптимального решения ТЗ распределительный метод для нахождения цены свободной клетки плохо программируется.

Метод потенциалов позволяет автоматически отыскивать клетки с отрицательной ценой, но его недостатком являются дополнительные действия по нахождению потенциального плана.

Идея метода потенциалов:

Условно предполагается, что каждый из пунктов отправления вносит за перевозку единицы груза некоторую плату U_i, где i-номер пункта отправления. В свою очередь каждый из пунктов назначения также вносит за перевозку единицы груза какую-то плату V_j, где j-номер пункта назначения. Эти платежи передаются перевозчику и называются потенциалами поставщика (U_i) и потребителя (V_j).

Для каждой заполненной (базисной) клетки выполняется соотношение:

U_i +V_j=C_ij, где C_ij-тариф данной базисной клетки.

Таким образом, в сумме поставщик и потребитель должны за перевозку единицы груза заплатить тариф.

Затем принимается значение первого потенциала, например U₁=0, а значение остальных потенциалов для базисных клеток вычисляется по формулам:

U_i = C_ij - V_j i=1..m

V_j = C_ij - U_i j=1..n

Этот процесс будет называться построением потенциального плана.

Рассмотрим алгоритм метода на примере:

bj ai	22	34	41	20	Ui
31	10 22	9 9	6 8	8 9	0
48	5 7	6 25	5 23	4 6	-3
38	8 8	7 7	6 18	7 20	-2
Vj	10	9	8	9

1. Расставим первоначальные поставки методом северо-западного угла.

Z₀^с-з=220+81+150+115+108+140=814 д.е.

2. Проставляем потенциальный план с учетом того, что U₁=0, а все остальные потенциалы находятся через соотношения для базисных клеток с учетом того, что U_i +V_j=C_ij (i=1..m, j=1..n). Потенциальный план построен для нахождения первой итерации.

3. После расстановки потенциалов (построения потенциального плана) находят псевдо платежи (псевдо тарифы, косвенные платежи) для свободных клеток по формуле:

- псевдоплатежи

5. Находим клетки с отрицательной ценой, для этого цены свободных клеток находятся по формуле:

6. Для каждой свободной клетки с отрицательной ценой, должны быть построены циклы пересчета. Критерием оптимальности является неотрицательность цен всех свободных клеток.

Продолжим практическое решение задачи, т.е. построим цикл пересчета для клетки

k=min {9, 23} =9

k* ₁₃=9*(-2)=-18

Z₁^ож=814-18=796 д.е.

bj ai	22	34	41	20	Ui
31	10 22	9 7	6 9	8 7	0
48	5 9	6 34	5 14	4 6	-1
38	8 10	7 7	6 18	7 20	0
Vj	10	7	6	7

Z₁=796 д.е.

k=min {22, 14} =14

k* ₁₃=14*(-4)=-56

Z₂^ож=796-56 =740 д.е.

Процесс циклически повторяется, начиная с п.2

bj ai	22	34	41	20	Ui
31	10 8	9 11	6 23	8 7	0
48	5 14	6 34	5 1	4 2	-5
38	8 10	7 11	6 18	7 20	0
Vj	10	11	6	7

Z₂=740 д.е.

k=min {34, 8, 18} =8

k* ₃₂=8*(-4)=- 32

Z₃^ож=740-32=708 д.е.

bj ai	22	34	41	20	Ui
31	10 6	9 7	6 31	8 7	0
48	5 22	6 26	5 5	4 6	-1
38	8 6	7 8	6 10	7 20	0
Vj	6	7	6	7

Z₃=708 д.е.

k=min {20, 26} =20

k* ₂₄=20*(-2)=-40

Z₄^ож=708-40=668 д.е.

bj ai	22	34	41	20	Ui
31	10	9	6 31	8	0
48	5 22	6 6	5	4 20	-1
38	8	7 28	6 10	7	0
Vj	6	7	6	5

Z₄=668 д.е.

Ответ: Х^*=

Z^*=668 д.е.