4. Нахождение опорного и оптимального плана в тт. Количество переменных в тт и их характеристика.

Решение ТЗ будет заключаться в нахождении матрицы перевозок (поставок), причём сначала будет находиться первоначальная (исходная, опорная) матрица поставок, а затем оптимальная.

Таким образом, решение будет вестись в ТТ в 2 этапа:

1) нахождение опорного плана (базисного, первоначального) распределения поставок.

2) нахождение оптимального плана ТЗ.

Для каждого из этих этапов существует ряд методов (алгоритмов):

Для первого этапа, это следующие:

- метод северо-западного угла (*);

- метод минимального элемента (*);

- метод двойного предпочтения (min затрат) (*);

- метод аппроксимации Фогеля.

Для второго этапа:

- распределительный метод (*);

- метод потенциалов (*);

- метод дифференциальных рент;

- венгерский метод.

Количество переменных в ТТ

Количество всех переменных ТЗ (таблицы) (m*n).

А число уравнений в системе линейных ограничений (m+n).

Это означает, что не все m+n уравнений являются линейно-независимыми. В этом легко убедиться, если сложить все уравнения системы (1), а затем все уравнения системы (2), то получим одно и тоже число.

Это означает, что условия (1) и (2) связаны одной и той же линейной зависимостью и фактически независимых уравнений (m+n-1), т.е. математически это означает что ранг матрицы решения Z=m+n-1.

Тогда количество основных переменных в закрытой ТЗ равняется (m+n-1), где m-число поставщиков, а n-число потребителей, а остальные m*n-(m+n-1) будут свободными (не основными).

Каждому разбиению матрицы X на основные (базисные) и не основные (свободные) переменные соответствует базисное решение и как следствие заполнение ТТ поставками также называемыми базисным (опорным).

Клетки, отвечающие базисным переменным ТТ, будем называть базисными клетками, а свободным переменным – свободными клетками или «пустыми» клетками.

Термины «базисная клетка» и «заполненная клетка» также будут считаться равнозначными.

Подобно тому, как это было в симплексном методе, при решении ТЗ, мы будем переходить от одного базисного распределения поставок к другому в сторону минимизации целевой функции (улучшения плана поставок) вплоть до оптимального плана.

3.5 Методы нахождения опорного плана (первоначального, допустимого, базисного)

Опорный план ТЗ (первоначальный, базисный) будем искать в ТТ. В отличие от симплексного симплексного такое решение всегда есть, причем число заполненных базисных клеток в ТТ будет равно (m+n-1), остальные клетки считаются свободными, и количество перевозимого груза в таких клетках примем равное нулю, но эти нули в таблице не ставятся, и клетка, соответствующая свободной переменной, считается незаполненной или пустой.

Рассмотрим три метода нахождения опорного плана в ТТ.

3.5.1 Метод северо-западного угла

Рассмотрим на примере:

bj ai	120	50	190	110
160	7 120	8 40	1	2
140	4	5 10	9 130	8
170	9	2	3 60	6 110

При нахождении опорного плана методом северо-западного угла, определение поставок начинается с левой верхней клетки таблицы, как самой северо-западной, и заканчивается в правом нижнем углу таблицы.

Опишем процесс заполнения клеток, или, иначе говоря, алгоритм метода северо-западного угла:

1. Клетка (1,1) – самая северо-западная, поэтому дадим ей максимально возможную поставку x₁₁=min(160,120)=120. После этого спрос первого потребителя будет полностью удовлетворён, т.е. первый столбец таблицы выпадает из последующего рассмотрения (мысленно вычёркиваем первый столбец).

2. В оставшейся ТТ найдём новый северо-западный угол. Это клетка (1,2). Заполним ее максимально возможной поставкой x₁₂=min(160-120,50)=40.

После этого мощность первого поставщика исчерпана, и из рассмотрения вычёркиваем первую строку таблицы.

3. В оставшейся ТТ снова находим северо-западный угол. Это клетка (2,2). Заполним ее максимально возможной поставкой x₂₂=min(140,50-40)=10. Мысленно вычёркиваем второй столбец, т.е. второго потребителя.

4. Переходим к клетке (2,3). Заполним её max возможной поставкой x₂₃=min(140-10,190)=130. Мысленно вычеркиваем вторую строку.

5. Переходим к клетке (3,3). Поставка в ней x₃₃=min(170,190-130)=60. Вычеркиваем из рассмотрения третий столбец.

6. Остается последняя клетка (3,4) в которую мы поставим единственно возможную поставку x₃₄=min(170-60,110)=110 и одновременно вычёркиваем последнюю строку последний столбец. Баланс по грузам сошелся.

Замечания:

1. Обратим внимание, что в методе северо-западного угла заполнение клеток идет по лестнице вдоль главной диагонали.

2. Число заполняемых клеток в полученном распределении поставок оказалось равно m+n-1=6 (3+4-1), а это соответствует числу основных (базисных) переменных. Это не случайно, т.к. на каждом шаге, кроме последнего, из рассмотрения выпадали либо строка, либо столбец, а на последнем шаге и строка, и столбец. Поэтому число заполненных клеток на единицу меньше, чем сумма числа строк и столбцов.

3. Заметим, что в данном методе, тарифы перевозок не использовались, а это означает, что полученный план будет довольно далеко от оптимального, т.к. оптимизация идет по минимальной стоимости всех перевозок. Это является самым основным и единственным недостатком метода северо-западного угла, а его достоинством является простота.