4.5 Деревья
Существует простой и важный тип графов, которому различные авторы дали одинаковые названия – деревья.
Деревья важны не только потому, что они находят приложения в различных областях знаний, но и в силу их особого положения в самой теории графов.
Часто при решении какой-либо задачи о графах, ее сначала исследуют на деревьях.
Граф называется ацикличным, если в нем нет циклов. В этом смысле дерево - это связный ацикличный граф, т.е. простая цепь без циклов.
Каждый граф, не содержащий циклов, называется лесом, т.о., компонентами леса являются деревья.
Для графа G=(p,q). Где p – количество вершин, q – количество ребер, следующие утверждения эквивалентны:
G – дерево;
Любые 2 вершины в графе G соединены единственной простой цепью (все ребра различны – это цепь, и вершины различны – это простая цепь);
Если G – граф, то количество вершин всегда на 1 больше, чем ребер, т.е. p=q+1. Для дерева это выполняется.
G – ацикличный граф, т.е. в нем нет циклов.
Изобразим некоторые виды деревьев с 8 вершинами:
1.
2.
3.
4
.
Заметим, что деревья популярны для организации данных на ПК. Например, структура каталогов в ОС MSDOS или UNIX является деревом, поэтому все программы, работающие с этими ОС, в том числе и программные оболочки, так или иначе, реализуют алгоритмы для быстрого поиска вершин деревьев, проходя по эйлеровым путям (по вершинам кратчайшим образом).
4.6 Сети
Под сетью понимают пару S=<G,C>, где G – это граф G=(V,E), (где V – вершины, E – ребра, причем граф ориентированный), а C – функция, которая каждой дуге (u,v) ставит в соответствие некоторое вещественное число, называемое пропускной способностью этой дуги.
Поэтому в случае сети множество (V,E) – это множество вершин и множество дуг сети S, а C – это пропускные способности дуг. Для каждой вершины V сети S рассматривают величину
Div F(v)= ∑ F(u,v) – ∑ F(u,v)
v®u u®v
которая будет являться величиной потока из u в v.
Если функция F(u,v) интерпретируется как поток, то Div F(v) определяет количество этого потока, выходящего из вершины v. Эта величина может быть положительна, если из вершины v больше выходит, чем входит в нее, и отрицательна, если в вершину v больше входит, чем выходит из нее. Т.о., наступает накопление потока в вершине v. И, наконец, эта величина равна нулю, если входящий поток равен выходящему.
Такой поток может описывать поведение газа или жидкости в трубопроводе, потоки автомобилей в сети автострады, пересылку товаров по ж/д без хранения на промежуточных станциях, передачу информации в информационной сети.
Одной из самых интересных задач в этом разделе теории графов является задача нахождения максимального потока, т.е. потока с максимальной величиной в заданной сети. Главной теоремой этой задачи является знаменитая теорема Форда и Фалкерсона, которая говорит о следующем: величина каждого потока из вершины S в T не превосходит пропускной способности минимального разреза, разделяющего S и T, причем существует поток, достигающий этого значения.