4.3 Типы графов

1. Ориентированный граф (орграф) состоит из конечного непустого множества v вершин и заданного набора х упорядоченных пар различных ребер. Элементы из х={u,v} называется ориентированными ребрами или дугами.

V

V

U

U

Рис.1 Рис.2

2. Направленный граф - это орграф, не имеющий симметрических дуг типа (u,v) и (v,u).

На рис.1 изображен направленный орграф, на рис.2 - ненаправленный орграф.

Ненаправленный орграф на рис.2 имеет 3 вершины и 4 ребра. Ребра все ориентированны, но имеются симметричные дуги (ребра) с противоположными направлениями. Поэтому это ненаправленный орграф.

3. Граф называется помеченным (перенумерованным), если все его вершины отмечены пометками. На рис.3 имеются вершины v1, v2, v3, которые отмечены.

V3

V1

Рис.3

4. Из определения графа вытекает, что в графе не может быть петель, т.е. ребер, соединяющих вершины сами с собой.

В мультиграфе также не допускаются петли, но пара вершин может соединяться более, чем одним ребром. Такие ребра называются кратными. Мультиграф представлен на рис.4

Рис.4. а) Рис.4. б)

5. Если допускаются петли и кратные ребра, то это псевдограф.

Рис.5 а) Рис.5 б)

4.4 Маршруты и связность

Маршрутом в графе G называется чередующаяся последовательность вершины ребер v,x,v,x,..,v.

эта последовательность начинается и заканчивается вершиной, и каждое ребро последовательно инцидентно двум вершинам одной из которых непосредственно предшествует ему, а другая следует за ней. Такая последовательность называется иногда V-V маршрутом. Маршрут замкнут, если V=V и открыт в противном случае.

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны и простой цепью, если вершины различны.

Замкнутая цепь называется циклом.

Замкнутый маршрут (цепь) называется простым циклом, если все его вершины различны и n>=3.

Граф называется связным, если любая пара его вершин соединена простой цепью.

E

V4

V5

x:

Рис. 6

На рис.6 дан помеченный граф, укажем некоторые

маршруты в этом графе:

V2

V3

V1

1) V1,V2,V3,V4,V5 - этот маршрут не является цепью, т.к

чтобы из вершины V3 достигнуть V4, нужно или пройти через вершину V2 или через вершину V5. И в том и в другом случае мы повторяем какое-либо ребро графа, а маршрут называется цепью, если все его ребра различны.

2) Если указать маршрут V1,V2,V5,V4,V2,V3 - то это цепь, т.к. мы ни разу не повторили ребро, но не простая цепь, т.к два раза повторили вершину V2.

3) V1,V2,V5,V4 - это простая цепь, т.к. при движении по данному маршруту не повторяются ни ребра, ни вершины.

4) V2,V4,V5,V2 - это цикл, т.к. цепь замкнута и простой цикл, т.к. количество ребер n=3.

Длина маршрута V0,V1,V2,..,Vn=n, т.е. количеству ребер в нем, причем каждое ребро считается столько раз, сколько оно встречается в данном маршруте.

Для рис.6 длина маршрута равна:

1) n=5;

2) n=5;

3) n=3;

4) n=3.

Расстоянием d (u,v) между двумя вершинами u и v графа G называется длина кратчайшей простой цепи, соединяющей их.

Если u и v не соединены, то полагают d (u,v)=∞, т.е.по существу расстояние d (u,v) и длина маршрута суть одно и тоже, например, из рис.6 d(V1,V4)=2.

Именно с нахождением маршрута и его длины связано большинство задач для графов, решаемых с помощью ПК.

Если, например, представить карту города (дорог) в виде графа, в котором перекрестки обозначаются как вершины графа, а улицы, как ребра их соединяющие, то простейшей задачей может быть нахождение кратчайшего маршрута от одной вершины к другой.

Существуют задачи отыскания маршрутов, проходящих через каждую вершину и имеющих минимальную длину или проходящую через каждую вершину только один раз (пути Эйлера) и т.д.