3.3 Необходимость специальных методов для решения тз.

Транспортная таблица (ТТ)

ТЗ относится к ЗЛП. Она может быть решена основным методом линейного программирования – симплексным.

Но ввиду исключительной практической сложности (однообразие многочисленных вычислений) при решении ТЗ симплексным методом с одной стороны и ее значимости в теории линейного программирования с другой стороны, были предложены специальные методы решения ТЗ.

При разработке специальных методов учитывалась специфика ограничений ТЗ, а именно:

• система линейных ограничений транспортной задачи задана в виде системы уравнений, т.е. имеется в виду, что ТЗ, в конечном счете, задана в канонической форме и открытая модель всегда сводится к закрытой;

• коэффициенты при всех неизвестных в системе линейных ограничений – уравнений равны единице или нулю;

• каждое неизвестное входит в систему линейных ограничений 2 раза: 1 раз при суммировании по строкам (система 1) другой раз по столбцам (система 2).

Специальные методы решения ТЗ (специальные методы) основываются на распределении поставок в транспортной таблице и таким образом решение ТЗ, ведется в транспортной таблице.

Транспортная таблица (ТТ)

ТТ в общем, виде должна выглядеть следующим образом:

Пн По	B1	B2	…	Bn	Запасы
A1	c11 x11	c12 x12	…	c1n x1n	a1
A2	c21 x21	c22 x22	…	c2n x2n	a2
…	…	…	…	…	…
Am	cm2 xm1	cm2 xm2	…	cmn xmn	am
Заявки	b1	b2	…	b3	=

Исходные данные ТЗ записывают в транспортной таблице.

Записывают запасы грузов на складах и заявки поданные пунктами назначения в окаймление таблицы. Кроме того, в каждом левом углу ТТ записываются тарифы перевозок c_ij (i=1..m, j=1..n) однородного груза из каждого i – го пункта отправления в каждый j – ый пункт назначения.

Решение ТЗ также ведется в ТТ, для этого проставляются поставки x_ij (i=1..m, j=1..n) в правом нижнем углу каждой клетки ТТ. это полная форма ТТ, но в практическом использовании (при решении задач) удобно упрощенно-сокращенная форма, где сверху и слева таблицы (в окаймлении) сразу указываются заявки и запасы.

Покажем упрощенную форму на примере.

Заявки bj Запасы ai	20	30	40	60
70	3	5	3	0
80	6	3	2	0

Так как (сумма) =150, а =90, то вводят фиктивный пункт назначения B₄ с фиктивной заявкой В_ф= - .

Тарифы в данный пункт назначения равны нулю.

Практическая задача

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Сырьё сосредоточено в трех местах его получения и его запасы соответственно равны 160,140,170 тонн.

Потребности в сырье для каждого из четырех предприятий соответственно равны: a_i =160,140,170

b_j =120,50,190,110

На каждое из предприятий сырьё может завозиться из любого пункта, причем тарифы перевозок известны, и заданы матрицей:

C=

Составить план перевозок, при котором общая стоимость всех перевозок будет минимальной.

Условие ТЗ является экономической или общей постановкой задачи.

По данной постановке необходимо:

• составить математическую модель;

• составить ТТ для решения в ней ТЗ.

1. Обозначим матрицу решений

где x_ij – количество груза, перевозимое из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения.

Прежде чем, составлять систему линейных ограничений, нужно проверить открытая это модель или закрытая, т.е. выполняется ли условие = .

Проверим:

160+140+170=120+50+190+110

470=470

Модель ТЗ закрытая (с правильным балансом), значит, имеем каноническую форму задачи, и система линейных ограничений будет состоять из уравнений.

(1) (запасы грузов на складах ограничены)

(2) (заявки потребителей должны быть выполнены)

(3) Z=7x₁₁+8x₁₂+x₁₃ +2x₁₄+4x₂₁+5x₂₂+9x₂₃+8 x₂₄+9x₃₁+2x₃₂+3x₃₃+6x₃₄ (min)

Общая стоимость перевозок должна быть минимальной.

(4) (i=1..3, j=1..4) – по экономическому смыслу перевозки должны быть положительными.

2. ТТ для решения данной задачи будет выглядеть следующим образом:

bj ai	120	50	190	110
160	7 x11	8 x12	1 x13	2 x14
140	4 x21	5 x22	9 x23	8 x24
170	9 x31	2 x32	3 x33	6 x34