- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема 1.
Если функции и непрерывны в точке , то функции (с – константа), + , , а если , то и также непрерывны в точке .
Доказательство:
Следует из свойств пределов и определения непрерывности. Например:
.
Теорема 2 (непрерывность сложной функции).
Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция также непрерывна в точке , т.е. . (*)
Доказательство.
Т.к. функция непрерывна в точке , то
. Т.к функция непрерывна в точке , то , но т.к. при любом стремлении и , то , т.е. , т.е. при . Сложная функция непрерывна.
Формулу (*) можно записать в виде , которая может быть использована при вычислении пределов.
Можно также записать: , где .
Это правило замены переменных, которое очень часто используется при вычислении пределов.
В качестве примеров докажем непрерывность некоторых элементарных функций.
1. – непрерывна в любой точке .
Функция
2. – непрерывна в любой точке .
;
Функция
Справедлива теорема (без доказательства).
Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Подчеркну, что речь идет не только об основных элементарных функциях, а вообще об элементарных функциях, т.е. таких, которые получены из основных элементарных путем конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.
Теорема об ограниченности непрерывной функции.
Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой функция ограничена.
Доказательство.
Из определения непрерывности следует, что определена в некоторой окрестности точки и, следовательно, можно взять любую последовательность , и при этом . Сходящаяся же последовательность ограничена, поэтому и ограничена.
1.3.6. Два замечательных предела
Для вывода формул первого и второго замечательных пределов сначала докажем вспомогательную теорему (лемму).
Лемма.
Пусть в некоторой -окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) заданы функции , причем и . Тогда .
Доказательство.
Пусть – произвольная последовательность, при , элементы которой лежат в указанной окрестности точки и не равны , а – соответствующие последовательности значений функции. По условию и . Но тогда в силу теоремы, доказанной для последовательности, . Поскольку – произвольная, сходящаяся к последовательность значений аргумента, это и означает, что . Лемма доказана.
1. Первый замечательный предел
.
Функция не определена. Найдем ее предел при . Для этого рассмотрим на окружности радиуса 1 два радиуса OA и OM, острый угол между которыми равен x (в радианах).
Из точки M проведем , а продолжив OM, из точки С проведем Из рисунка ясно, что
Sсектора OMA< . (1)
Поскольку OM=OA=1, то
Sсектора= OMA =
Тогда неравенство (1) имеет вид:
.
Т.к. xострый угол и , разделив это неравенство на sinx>0, получим
или
. (2)
Это неравенство получено в предположении, что x>0. Если же x<0, то cos(–x) = cosx и , поэтому оно справедливо и при x<0. Из неравенства (2) следует, что переменная заключена между двумя переменными, имеющими при один и тот же предел: ; . Поэтому согласно указанной лемме .
2. Второй замечательный предел
Мы уже знаем, что . При этом n принимает целые положительные значения. Оказывается, если , принимая любые, в том числе и дробные значения, предел также оказывается равным e.
В самом деле, любое положительное значение x заключено между двумя положительными и целыми числами:
.
При этом выполняются неравенства:
; ;
.
Если , то и . Найдем пределы, к которым стремятся переменные, между которыми заключена переменная .
Пределы оказались одинаковыми. Поэтому в соответствии с леммой .
Мы доказали, что если x всегда положителен и , то .
Можно доказать, что этот предел равен e при произвольном стремлении x к или
Этот же предел можно записать в другой форме, обозначив и рассматривая .
.
Теперь рассмотрим примеры вычисления пределов.
Пример 1.
Найти . Т.к. функция непрерывна в любой точке, то
Пример 2.
Найти
Пример 3.
Найти Т.к. функция непрерывна в каждой точке ( элементарная функция), то
Пример 4.
Используем замену переменной
Тогда =
Пример 5.
.
Пример 6.
Пример 7.