3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных

Введем важное понятие: окрестностью радиуса r точки М₀(х₀,у₀) называется совокупность всех точек (х,у), удовлетворяющих неравенству

т.е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке М₀(х₀,у₀).

Рассмотрим функцию z=f(x,y), определенную в некоторой области G плоскости хОу. Рассмотрим точку М₀(х₀,у₀), лежащую внутри или на границе области G.

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки М(х,у) к точке М₀(х₀,у₀), если для любого числа >0 найдется такое число r>0, что для всех точек М(х,у), для которых , имеет место неравенство

.

При этом под понимается .

Записывают так:

.

Определение 2. Пусть точка М₀(х₀,у₀) принадлежит области определения функции f(x,y). Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (х₀,у₀), если имеет место равенство

причем точка М(х,у) стремится к точке М₀(х₀,у₀) произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Примеры.

1. Функция z=x²+y² непрерывна в любой точке плоскости хОу. В самом деле, для любых х, у и произвольных х и у равен:

2. Покажем, что в точке х=0, у=0 эта функция не является непрерывной. Рассмотрим значения этой функции вдоль прямой у=kx (k=const), проходящей через начало координат

Отсюда ясно, что вдоль любого направления, определяемого значением k, функция сохраняет постоянное значение, определяемое величиной k. Но это и означает, что при подходе к началу координат по разным путям мы будем получать различные значения, т.е. функция предела не имеет.

3.5. Частные приращения и частные производные

Рассмотрим поверхность z=f(x,y), являющуюся графиком функции двух переменных (см. рис.).

Изобразим линию пересечения этой поверхности с плоскостью у=const, параллельной плоскости хОz. Это линия АРS. В этой плоскости у сохраняет постоянное значение, поэтому при изменении х от х до х+х функция z получает приращение, которое называют частным приращением z по х:

(3.5.1)

Аналогично, если х сохраняет постоянное значение, а у получает приращение у, то z получает частное приращение по у _уz:

(3.5.2)

Наконец, если задать приращение х аргументу х и приращение у аргументу у, получим приращение z, которое называется полным приращением функции z:

z = f(x+х, у+у) – f(х, у). (3.5.3)

На рисунке это QQ'.

Пример.

z = xy;

_хz = (x + х) у – ху = ух;

_уz = х (у + у) – ху = ху;

z = (х + х)(у + у) – ху = ух + х + ху.

Аналогичным образом определяются частные и полные приращения функции для любого числа переменных.

Определение. Частной производной по х от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения _хz по х к приращению х при стремлении х к нулю:

Аналогично

Пример.

z = x²sin y;

Из приведенного примера ясно, что при вычислении частной производной по х величина у считается постоянной, ее можно, например, выносить за знак производной, а при дифференцировании у по х результат равен нулю. Эти же замечания относятся и к случаю, когда вычисляется ; при этом х считается константой.