- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
следовательности
Пусть – некоторая последовательность. Рассмотрим произвольную бесконечную возрастающую последовательность целых положительных чисел . Выберем из последовательности элементы с номерами , расположив их в таком же порядке, как и числа .
Полученная последовательность называется подпоследо-вательностью последовательности .
Теорема Больцано–Вейерштрасса.
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство:
Т.к. последовательность ограничена, все ее элементы принадлежат некоторому отрезку [a, b], который обозначим через . Поделим пополам отрезок [a, b] и в качестве возьмем ту его половину, к которой принадлежит бесконечное число элементов . Выберем какой-либо элемент . Снова поделим пополам и возьмем , содержащее бесконечное число элементов . Выберем с номером (это всегда можно сделать, т. к. в – бесконечное число элементов). Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков , таких, что каждый последующий принадлежит предыдущему, а Тогда по принципу вложенных отрезков существует точка для всех k. Очевидно, выбранная таким образом подпоследовательность имеет своим пределом C.
1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
последовательности. Критерий Коши
До сих пор мы с вами выясняли вопрос о сходимости последовательности в соответствии с определением предела, т.е. нам приходилось оценивать разность элементов этой последовательности и ее предполагаемого предела a. Иными словами, приходилось предугадывать, чему равен предел а.
Хорошо бы иметь такой критерий сходимости последова-тельности, который имеет дело только с самими ее элементами. Такой критерий имеется. Для его формулировки сначала введем понятие фундаментальной последовательности.
Определение.
Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется номер такой, что для всех справедливо неравенство .
Теорема (критерий Коши; Коши – известный французский математик 19 века). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Эта теорема дается без доказательства.
Пример.
Применим критерий Коши для установления сходимости следующей последовательности : , где – произвольные вещественные числа, удовлетворяющие условию Пусть m и n – любые два натуральных числа. Пусть для определенности m > n. Тогда
Учитывая, что , для любого найдется номер N такой, что Тогда при , т.е. последователь-ность фундаментальна и сходится. При n > m доказательство аналогичное.
1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
1.3.1. Определение предела функции
В самом начале нашего курса мы познакомились с определением функции и области ее определения. Одной из наиболее употребимых моделей функций являются непрерывные функции. Для изучения их свойств необходимо ввести понятие предела функции.
Рассмотрим функцию , определенную на множестве и точку а, быть может и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что в любой ее имеются точки множества , отличные от а (например, точка а может быть граничной точкой интервала, на котором определена функция).
Определение 1.
Число b называется пределом функции в точке x = a (или пределом функции при ), если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента x, элементы которой отличны от а ( ), соответствующая последовательность значений функции сходится к b.
Это определение дано на привычном языке последовательностей и их пределов. Есть другое определение, не связанное с понятием последовательности.
Определение 2.
Число b называется пределом функции в точке
x = a, если для любого можно указать такое, что для всех x, для которых , выполняется неравенство .
Записывают так:
или
Говорят еще так: первое определение предела функции – через предел последовательности, второе – на языке
Можно доказать, что каждое из этих определений следует из другого. Таким образом, оба определения эквивалентны и в зависимости от удобства можно использовать и то и другое.
Мы познакомились с определением предела в конечной точке x=a. Дадим определение предела при .
Число b называется пределом , если определена для всех x, удовлетворяющих неравенству x > K при некотором K > 0 и для любого >0 можно найти число
M > K, такое что для всех x, удовлетворяющих неравенству x > M.
Записывают так: .
Аналогичное определение можно дать для предела при В дальнейшем в записи величину а будем считать как конечной, так и бесконечной Более того, и значение предела b может быть либо конечным, либо бесконечным
Определение.
Функция , для которой , называется бесконечно малой при .
Функция , для которой , называется бесконечно большой при .
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Докажем, что . Пусть задано произвольное число ; для того, чтобы выполнялось неравенство , необходимо выполнение следующих неравенств: Обозначим . Тогда, если то , а это и означает, что .
Замечание.
Для существования предела при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки a, а не в самой точке a. Это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.
Пример 2.
Доказать, что .
Функция не определена при Надо доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство , если . Но при неравенство (*) эквивалентно неравенству , т.е. . Таким образом, если положить , то при , а это означает, что при функция .
Пример 3.
Докажем, что или Надо доказать, что , если , причем N определяется выбором
Итак, если то , а это и означает, что при .