2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности

точки. Локальный экстремум

Будем изучать поведение функции y=f(x) вблизи некоторой точки х. Конечно, мы считаем, что f(x) определена в некоторой окрестности этой точки. Тогда возможны следующие случаи.

В случаях (3) и (4) говорят, что функция имеет локальный максимум (минимум). Локальные максимум и минимум называют локальным экстремумом.

Предположим, что функция f в точке х имеет производную , так что величина стремится к положительному числу, если . Но тогда в некоторой окрестности точки х , т.е. функция возрастает.

Таким образом, справедлива теорема:

I. Если функция f в точке х имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) в этой точке.

Из этих рассуждений следует и другая теорема.

Теорема Ферма.

Если функция f достигает в точке х локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная , то последняя равна нулю.

Доказательство:

Если бы , то в силу предыдущей теоремы функция либо возрастает, либо убывает и экстремума нет.

Теорему можно сформулировать и так:

Для того, чтобы функция f, имеющая в точке х производную, достигла в ней локального экстремума, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна нулю.

Отметим, что условия недостаточно, чтобы функция имела локальный экстремум.

Пример:

при , но функция возрастает в окрестности точки т.к. как при , так и при .

Аналогично, функция убывает в окрестности точки .

2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем

Теорема Ролля.

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], имеет производную на интервале (a,b) и принимает равные значения f(a)=f(b) на концах отрезка. Тогда на интервале (a,b) есть хотя бы одна точка с, где производная от f равна нулю

Доказательство.

Пусть M и m – соответственно максимум и минимум f на отрезке [a,b]. Они существуют в силу непрерывности f на [a,b]. Если M=m, то f(x)=M для всех в любой точке .

Если же одно из чисел m или M отлично от чисел f(a)=f(b), ( пусть для определенности ), то максимум М на отрезке [a,b] достигается в некоторой точке интервала и следовательно, в этой точке f имеет локальный максимум. Тогда по теореме Ферма . Случай разбирается аналогично. Теорема доказана.

Теорема Коши.

Пусть функции непрерывны на отрезке [a,b] и имеют производные на интервале (a,b), причем производная не обращается в нуль. Тогда внутри этого интервала найдется точка a<c<b, такая, что

Доказательсво.

Для начала заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля производная обращалась бы в нуль внутри отрезка, а это противоречит условию теоремы. Таким образом, .

Составим вспомогательную функцию

Тогда F(a)=0, F(b)=0 и функция F(x) удовлетворяет на отрезке [a,b] условиям теоремы Ролля. Таким образом, существует точка с, a<c<b, такая что

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную на интервале (a,b). Тогда на этом интервале существует точка с, a<c<b, для которой выполняется равенство

(*)

Доказательство.

Теорема является следствием теоремы Коши, для этого следует положить .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Левая часть равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки A( a;f(a)) и B(b;f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке .

b

Теорема Лагранжа утверждает, что если функция непрерывна и имеет производную, то на ее графике имеется точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, стягивающей концы кривой A(a;f(a)) и B(b;f(b)).

Равенство , записанное в виде

называется формулой конечных приращений Лагранжа. Иногда записывают последнюю формулу так:

Эта формула верна как для a<b, так и для .