3.8. Производная неявно заданной функции

Если неявная функция одной переменной задана уравнением

, (3.8.1)

то производная находится по известной формуле:

. (3.8.2)

Формула (3.8.2) носит название производной неявно заданной функции одной переменной.

По аналогии неявная функция двух переменных ( есть функция ) задается уравнением

.

Если теперь искать, например частную производную , то переменная считается постоянной и можно действовать по формуле (3.8.2). Тогда

. (3.8.3)

Аналогично

. (3.8.4)

Разумеется, в формулах (3.8.3) и (3.8.4) следует считать . Эти формулы обобщаются на любое число переменных.

Пример.

Неявная функция трех переменных задана соотношением

. Найти и .

Пусть . Тогда

.

3.9. Частные производные высших порядков

Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y). Ее частные производные и , вообще говоря, являются функциями двух переменных х и у. Поэтому эти функции можно снова дифференцировать по х и у. Таких частных производных второго порядка всего четыре, т.к. каждую из производных и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Эти производные обозначаются так:

– дифференцируем два раза подряд по х;

– сначала дифференцируем по х, затем по у;

– сначала дифференцируем по у, затем по х;

– два раза дифференцируем по у.

Можно продолжать этот процесс, дифференцируя вторые производные по х или у и получая третьи производные и т.д.

– частная производная n-го порядка, дифференцирование ведется сначала р раз по х, затем n–p раз по у.

Аналогично определяются производные любого порядка от функции любого числа переменных.

Пример. Вычислить производные 2-го порядка функции f(x,y)=х²у+у³.

В данном примере оказалось, что , т.е. смешанная производная по х и у оказалась не зависящей от порядка дифференцирования. Оказывается, что это совсем не случайно.

Теорема (без доказательства).

Если функция f(x,y) и ее частные производные до второго порядка включительно определены и непрерывны в окрестности точки (х,у), то в этой окрестности

.

Из этой теоремы следует, что смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Это свойство дифференцируемых функций следует иметь в виду при выполнении практических расчетов.

3.10. Производная по направлению

Пусть в пространственной области задана функция трех переменных . Выберем в этой области две точки: и (знаки приращений и могут быть произвольными) и проведем вектор (см. рис.).

Этот вектор является диагональю параллелепипеда со сторонами . Очевидно, его длина равна

.

Будем считать, что функция дифференцируема и запишем полное приращение при переходе от точки к точке в виде

, (3.10.1)