2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-

тервале. Теорема о производной функции, возраста-

ющей на отрезке

Теорема 1.

Функция, непрерывная на отрезке [a,b] и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале (a,b), не убывает (строго возрастает) на [a,b].

Доказательство.

Пусть Тогда на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа. Поэтому на интервале найдется точка с, для которой

По условию , т.е. на (a,b), поэтому т.е. функция не убывает.

Если же на (a,b), то функция строго возрастает.

Поскольку – произвольные точки отрезка [a,b], то теорема справедлива для всего отрезка [a,b].

Теорема 2.

Если функция имеет на интервале (a,b) производную, равную нулю, то она постоянна на (a,b).

Теорема о знаках производной слева и справа от точки экстремума

Теорема 3.

Если функция f непрерывна в окрестности точки и имеет производную

то – точка локального минимума (максимума) функции f.

Доказательство.

Следует из формулы конечных приращений Лагранжа:

Таким образом, функция имеет локальный минимум. Доказательство для случая локального максимума аналогично.

Теорема 4.

Если функция f удовлетворяет условиям и , то есть точка локального минимума (максимума) функции f.

Доказательство.

Если существует вторая производная , то в окрестности этой точки существует и непрерывна первая производная Если возрастает в точке .

Поскольку по условию =0, то это означает, что справа от . Тогда в соответствии с теоремой 3 функция имеет в точке минимум. Аналогичное рассуждение можно провести для случая, когда Теорема доказана.

2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена

Зададим произвольное число а и в правой части (1) сделаем замену

Теперь раскроем все квадратные скобки и приведем подобные члены с одинаковыми степенями (x–a). В результате получим

Равенство (2) называется разложением многочлена P(x) по степеням (x – a), а числа называется коэффициентами этого разложения.

Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

В последнем равенстве положим :

Формула (4) называется формулой Тейлора разложения многочлена степени n по степеням (x – a).

Если а=0, то формула называется формулой Маклорена:

Пример:

Бином Ньютона.

Пусть , где а – произвольное число, а n – натуральное число.

k-я производная равна:

Это формула бинома Ньютона.

Если обозначить то формула записывается в виде .

Числа называются биномиальными коэффициентами. Эти коэффициенты обладают следующими свойствами (доказать самостоятельно):

равенства можно легко вычислить для любых n и k, пользуясь только одним действием сложения.

Располагая коэффициенты при различных n в отдельные строки, получим так называемый треугольник Паскаля.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

………………….

В строке, соответствующей конкретному значению n, находится (n+1) число:

Примеры.

.

Выведем теперь формулу Тейлора для произвольной функции. Пусть в окрестности точки а задана функция f(x), не являющаяся многочленом степени n–1, но имеющая в точке а производные до n-го порядка включительно.

Это многочлен степени (n–1). Он называется многочленом Тейлора степени (n–1) функции f(x) по степеням (x–a). Если бы исходная функция f(x) была многочленом степени (n–1), то выполнялось бы тождество f(x)=Q(x) для всех х из нашей окрестности.

Но в данном случае это тождество не имеет места, т.к. мы предположили, что f(x) не есть многочлен степени (n–1).

Здесь , где Q(x) определен формулой . Индекс (n–1) выписан для удобства, чтобы подчеркнуть, что Q(x) – многочлен степени (n–1).

Равенство называется формулой Тейлора функции f(x) в окрестности точки x=a, а – остаточным членом или n-м остатком формулы Тейлора.

Оказывается, остаточный член может быть записан в весьма изящной форме: либо в форме Лагранжа, либо в форме Коши.

Форма Лагранжа:

Точка зависит от x и n. Обычно точное значение неизвестно, но можно утверждать, что находится на интервале (a,x), при этом х можно считать как большим, чем а, так и меньшим, чем а.

Другой вид формы Лагранжа:

Остаточный член, записанный в форме (*) или (**), обычно используют для оценки точности приближенного вычисления функции f(x) в точке x, отличной от a.