- •Предисловие
- •1. Введение в анализ
- •1.1. Основные элементарные функции
- •1.1.1. Некоторые множества вещественных чисел
- •1.1.4. Понятие о функции
- •1.2. Предел последовательности. Бесконечно малые и
- •1.2.1. Предел поcледовательности
- •1.2.2. Ограниченные и неограниченные последователь-
- •1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последо-
- •1.2.5. Основные теоремы о пределах
- •1.2.6. Монотонные последовательности
- •1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-
- •1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости
- •1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции
- •1.3.1. Определение предела функции
- •1.3.2. Теорема (критерий Коши существования предела
- •1.3.3. Непрерывность функции в точке
- •1.3.4. Односторонние пределы
- •1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
- •1.3.6. Два замечательных предела
- •1.3.7. Эквивалентные бесконечно малые функции и их
- •1.3.8. Монотонные функции. Теорема о существовании
- •1.3.9. Разрывы первого и второго рода
- •2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
- •Производная обратной функции
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Аналогично
- •2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-
- •Рассмотрим кривую, уравнение которой .
- •2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница
- •2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности
- •Доказательство:
- •2.8. Поведение функции на отрезке. Теоремы о среднем
- •2.9. Критерии возрастания и убывания функции на ин-
- •2.10. Формула Тейлора Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
- •Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
- •2.11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •Замечание 1.
- •2.12. Исследование функции одной переменной
- •2.12.1. Отыскание участков монотонности функции
- •2.12.2. Отыскание точек возможного экстремума
- •2.12.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.12.4. Асимптоты графика функции
- •2.12.5. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Целесообразно провести следующие исследования:
- •2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Примеры функций нескольких переменных
- •3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
- •3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •3.5. Частные приращения и частные производные
- •3.6. Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений
- •3.7. Сложная функция и ее полная производная
- •3.8. Производная неявно заданной функции
- •3.9. Частные производные высших порядков
- •3.10. Производная по направлению
- •Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :
- •То , тогда и
- •Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
- •3.11. Градиент
- •3.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •3.13. Экстремум функции двух переменных
- •3.14. Условный экстремум функции многих переменных
- •Логинов Вениамин Анатольевич
- •Дифференциальное исчисление
- •Курс лекций по дисциплине «Математика» для студентов
- •Инженерных и экономических специальностей мгавт
- •117105, Г. Москва, Новоданиловская нанбережая, строение 2, корп. 1
1.2.6. Монотонные последовательности
Определение.
Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех n справедливо неравенство .
Если выполняются строгие неравенства , то последовательность называется возрастающей (убывающей). Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.
Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу. А именно: невозрастающая последовательность ограничена сверху (своим первым элементом x1), а неубывающая последовательность ограничена снизу (также элементом x1).
Если же невозрастающая последовательность ограничена еще и снизу, то она является ограниченной с двух сторон. Точно так же неубывающая последовательность, ограниченная сверху, ограничена с двух сторон.
Теорема.
Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу) числом M(m), то она имеет предел a, причем .
С учетом только что сделанных замечаний эту теорему можно сформулировать так: если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она сходится.
Доказательство:
Ограничимся доказательством для неубывающей последовательности . Докажем, что пределом такой последовательности является точная верхняя грань .
Поскольку – точная верхняя грань множества элементов последовательности , то для любого можем указать элемент xN такой, что и . Сопоставим эти неравенства и получим . Т.к. – неубывающая последовательность, то при N . Таким образом, при N выполняются неравенства и так как , то эти неравенства записываются в виде , т.е. . Итак, доказано, что число – предел последовательности .
Замечание.
Отметим, что для монотонных последовательностей ее элементы приближаются к пределу с одной стороны. Так, для неубывающей последовательности , пределом которой является , для всех n справедливо неравенство . Для немонотонных последовательностей возможно приближение к пределу с обеих сторон. Пример мы уже имели:
Очевидно, , но знаки элементов этой последовательности чередуются.
Следствие из теоремы (принцип вложенных отрезков).
Пусть дана бесконечная система отрезков каждый следующий из которых содержится в предыдущем, т.е. . Пусть разность (длина отрезка ) стремится к нулю при .
Тогда существует, и притом единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство:
Очевидно, последовательность левых концов отрезков является неубывающей, а последовательность правых концов – невозрастающая. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все элементы последовательностей и находятся на отрезке ), то обе они сходятся.
Из того, что разность вытекает, что обе эти последовательности имеют общий предел С. Тогда ясно, что , т.е. точка С принадлежит всем сегментам . Утверждение доказано.
Число e.
Прежде, чем дать определение числа e (основания натуральных логарифмов), играющего важную роль в математике, напомню вам формулу бинома Ньютона. Речь идет о возведении двучлена (a+b) в любую натуральную степень n.
Если n=1, то ;
n=2, то ;
n=3, то ;
Т.к. , можно получить формулу .
В общем случае справедлива формула, носящая название бинома Ньютона:
Рассмотрим последовательность
На основании формулы бинома Ньютона:
Отсюда видно, что все члены положительны, так что
С другой стороны, заменив каждую скобку единицей, мы увеличим это выражение так, что:
.
Теперь заметим, что
т.е. при .
Если все знаменатели заменить на , то правая часть только возрастет.
Таким образом,
Таким образом, при всех n.
Теперь покажем, что – возрастающая последовательность.
Сравнивая эти выражения, заметим, что в выражении для на одно положительное слагаемое больше, чем в выражении для . Кроме того, во вторых слагаемых в третьих слагаемых
и т.д..
Таким образом, каждое слагаемое в меньше соответствующего слагаемого в . Итак, , т.е. последовательность – возрастающая. Поскольку она ограниченная, следовательно, сходится к некоторому пределу e, причем e – иррациональное число, – выражается бесконечной не-периодической дробью.
Таким образом, .