1.1.4. Понятие о функции

Если каждому значению переменной x, принадлежащей некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x. Символьная запись:

Определение.

Совокупность значений x, для которых определяются значения y в силу правила f(x), называется областью определения (ОДЗ аргумента функции). Обозначается .

– множество значений, которые принимает функция

Функцию можно задать:

1. таблицей:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Существуют, например, таблицы тригонометрических, логарифмических, показательных функций и т.д.

2. графически:

3. аналитически (формулой):

Теперь я напомню вам про основные элементарные функции, которые изучались в школьном курсе математики.

1. Степенная функция

2. Показательная функция

3. Логарифмическая функция

4. Тригонометрические функции

5. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим области определения и графики этих функций.

Степенная функция

1. целое положительное число.

Область определения:

Примеры:

(парабола)

y y

y

x

2. –целое отрицательное число. Область определения:

2. Если

а) Если q – нечетное, то область определения:

Примеры:

б) Если q – четное, то область определения:

Пример:

3. Если

а) Если q – нечетное, то область определения:

Примеры:

б) Если q – четное, то область определения: x>0.

Пример:

4. Если – положительное иррациональное число, то область определения

Примеры:

6. Если – отрицательное иррациональное число, то область определения x>0.

Пример:

Показательная функция . Напомню, что a>0,

Область определения:

а) 0<a<1 б) a>1

Логарифмическая функция

Область определения x>0.

а) a>1 б) 0<a<1

Тригонометрические функции

Аргумент x в тригонометрических функциях y=sinx, y=cosx и т.д. выражается в радианах. Углу в Все тригонометрические функции – периодические. Дадим общее определение периодической функции.

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое постоянное число T, от прибавления (вычитания) которого к аргументу x значение функции не меняется: Наименьшее такое число называется периодом функции. Напомню, что период функций y=sinx и y=cosx y=tgx и y=ctgx

Функция y=sinx определена при всех x. Ее график имеет вид:

Функция y=cosx также определена при всех x, а график ее изображен ниже:

Функция y=tgx определена при всех x, кроме точек Z – множество всех целых чисел.

График имеет вид:

Функция y=ctgx определена при всех x, за исключением

График имеет вид:

Обратные тригонометрические функции

Функция y=arcsinx; область определения:

График имеет вид:

Значения функции заполняют отрезок

Функция y=arccosx; область определения:

График имеет вид:

Значения функции находятся на отрезке

Функция y=arctgx; область определения:

График имеет вид:

Значения функции заполняют интервал

Функция y=arcсtgx определена при всех x.

График имеет вид:

Значения функции находятся в интервале

Мы с вами рассмотрели основные элементарные функции. Все эти функции вы изучали в школе.

Кроме основных элементарных функций в математике имеется понятие об элементарных функциях. Прежде, чем мы с ним познакомимся, введем вначале понятие сложной функции.

Если y является функцией от u, , а u в свою очередь зависит от переменной x, , то y также зависит от x. Эта зависимость записывается так: ; y является сложной функцией от x.

Пример:

– сложная функция.

Операция “функция от функции” может производиться не один, а любое число раз. Например, функция получена в результате следующих операций:

Теперь дадим определение элементарной функции.

Определение.

Элементарной функцией называется функция, которая составлена из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. На основании этого определения ясно, что элементарные функции задаются аналитически.

Пример элементарной функции:

.