2.5. Визначення похибок за допомогою функцій чутливості

Відхилення від номінальних значень вхідних факторів дій, внутрішніх параметрів системи та зовнішніх факторів дій призводить до небажаної зміни вихідних характеристик системи. Як наслідок, погіршується точність і надійність РЕЗ, тобто знижується якість її функціонального призначення. Жорсткі вимоги щодо технічних характеристик можуть бути забезпечені за рахунок системних підходів до конструювання за умови застосування комп’ютера. Ефективність автоматизованого розв’язку сучасних задач проектування РЕЗ суттєво зростає за рахунок використання ідей та методів параметричної чутливості. Саме застосування функцій чутливості дозволяє мінімізувати похибки вихідних характеристик РЕЗ.

Абсолютні та відносні прирости відхилення параметрі х, q та y можна просто ототожнити з абсолютними та відносними похибками.

Принципово розрізняють:

1. Регулярні (систематичні) похибки, що змінюються за певним законом, а тому обчислюються за формулами.

2. Випадкові похибки, величину яких не можна встановити заздалегідь.

3. Грубі похибки, що суттєво відрізняються від інших, не мають статистичного характеру і, як правило, відкидаються.

Система, що описується технічними умовами (ТУ), вважається ідеальною. Вона повинна реалізувати ідеальні вихідні характеристики

. (2.26)

Вже на стадії проектування доводиться відступати від ідеального варіанта й задовольнятись розрахунковою системою

, (2.27)

де - оператор розрахункової системи РЕЗ;

, , - розрахункові значення відповідно вхідних, зовнішніх факторів дій та внутрішніх параметрів.

У реальних умовах мають місце варіації вхідних дій та варіації внутрішніх параметрів . Тому реально (2.27) має вигляд

. (2.28)

З допомогою ФЧ виразу (2.28) можна надати вигляду

. (2.29)

Тоді, віднімаючи від (2.29) значення (2.26), одержимо

. (2.30)

Введемо такі види похибок:

- проектна похибка;

- похибка від варіацій внутрішніх параметрів ;

- похибка від варіацій вхідних факторів дій .

Отже,

. (2.31)

В силу лінійності (2.31) похибки вихідних характеристик можна згрупувати за іншими ознаками:

, (2.32)

де - проектна похибка;

- похибка, що зумовлена технологічним фактором;

- похибка, що зумовлена експлуатаційним фактором.

При вивченні дії фізичних процесів представляють так:

, (2.33)

де - похибка, що зумовлена електричним фактором;

- похибка, що зумовлена тепловим фактором;

- похибка, що зумовлена механічним фактором.

Але в будь-якому випадку, незалежно від способу формування складових, оцінка сумарної похибки вихідних характеристик базується на застосуванні функції чутливості.

Саме визначення ФЧ є основою для розв’язання задач точності, надійності та оптимізаційного синтезу.

2.6. Визначення випадкових похибок вихідних параметрів за допомогою фч

Внутрішні параметри системи – параметри комплектуючих деталей і приладів, резисторів, конденсаторів, котушок індуктивності, транзисторів, діодів тощо. Внутрішні параметри в першу чергу характеризуються номінальними значеннями. Внаслідок похибок при виготовленні має місце відхилення від номінальних значень. Відхилення регламентуються допусками, значення яких обумовлюються відповідними технічними умовами. Так, при виготовленні елементів комп’ютерів селективний відбір комплектуючих деталей відсутній, тому той чи інший параметр у конкретній схемі може набувати будь-якого значення в межах допусків. Отже, внутрішні параметри системи потрібно розглядати як випадкові величини, що знаходяться в околі номінальних значень у межах допусків.

Вхідні фактори дій – значення напруги живлення, параметри вхідних сигналів, теж можуть змінюватися в певних межах, обумовлених технічними умовами. Така зміна викликає відповідні зміни струмів та напруг системи, що відрізняються від номінальних. Значення вхідних факторів дій за своєю природою є випадковими величинами.

Зовнішні фактори дій (температура тощо) теж є випадковими величинами. Застосування методів із використанням функцій чутливості вимагає особливих підходів при операціях над випадковими величинами.

Розглянемо компонування похибок вихідних параметрів згідно з формулою (2.32)

.

Проектна похибка є регулярною похибкою, що визначається шляхом розрахунків. Технологічна похибка є є випадковою похибкою, що породжується похибками внутрішніх параметрів. Експлуатаційна похибка є випадковою похибкою, що зумовлена похибкою вхідних параметрів та внутрішніх параметрів внаслідок зміни факторів дій. Тому

.

Найповнішим буде аналіз, коли випадкова величина представлена законом розподілу її ймовірностей. Але досить часто можна обмежитись розглядом числових характеристик випадкової величини. Розглянемо найголовніші числові характеристики, а саме математичне сподівання та дисперсію . Рівняння (2.32) в силу відомих властивостей матсподівання та дисперсії дасть такі залежності:

, (2.34)

. (2.35)

Проектна похибка Δyⁿ як регулярна похибка вплине на значення матсподівання , але не вплине на значення дисперсії , бо , оскільки Δyⁿ=const для конкретної конструкції.

Всі величини, що входять до (2.34) і (2.35), - це вектори

, (2.36)

Вважаємо, що математичні сподівання та дисперсії вхідних векторів , , відомі. Визначимо числові характеристики та , використовуючи ФЧ.

. (2.37)

Тут була використана формула адитивної властивості матсподівання

.

Аналогічно знаходимо формулу для визначення математичного сподівання технологічних відхилень

. (2.38)

Для визначення правої частини (2.35) врахуємо формулу

.

Нагадуємо, що в курсі теорії ймовірностей було введено поняття кореляційного моменту

,

за допомогою якого оцінюється ступінь зв’язку двох випадкових величин ξ_i та ξ_j.

Як правило, кореляційний момент нормується з допомогою середньоквадратичних відхилень і називається коефіцієнтом кореляції

.

Отже, на підставі сказаного одержимо наступні формули:

, (2.39)

, (2.40)

де – середньоквадратичне відхилення ,

– коефіцієнти кореляції між двома випадковими величинами і ,

– безрозмірна величина, що має певні властивості: . Якщо випадкові величини ξ_k та ξ_l незалежні, то r_kl=0. Коефіцієнт кореляції служить характеристикою зв’язку між випадковими величинами. Для лінійно залежних випадкових величин ξ_k та ξ_l і тільки для них . Якщо , то кажуть, що між випадковими величинами є кореляційний зв’язок. Ця залежність ймовірнісна. Вона тим ближче до лінійної, чим ближче значення до одиниці. Якщо =0, то випадкові величини некорельовані. З некорельованості ще не випливає незалежність. Але якщо випадкові величини некорельовані, то відсутній саме лінійний зв’язок між ними. Для встановлення незалежності ξ_k та ξ_l потрібні додаткові дослідження за допомогою змішаних моментів вищих порядків.

Система коефіцієнтів кореляції як характеристика кожної пари випадкових величин складає кореляційну матрицю

(2.41)

Це симетрична ( ) квадратна матриця .

Якщо , то , r₁₂=r₂₁. Тоді

.

Таким чином, знаючи числові характеристики вхідних похибок, можна знайти числові характеристики похибок вихідних параметрів системи. Це дає можливість до мінімуму скоротити обсяг статистичних досліджень, які досить тривалі в часі й потребують значних коштів для їх проведення. Аналіз із застосуванням функцій чутливості відкриває шлях до оцінки показників точності та надійності. Завдяки аналізу можна встановити ті параметри, що найбільше впливають на розкид вихідних характеристик і здійснити раціональний вибір параметрів або вибір нового варіанта конструкції.