3.2. Середні величини та показники варіації.
При вивчені масових явищ одна з основних задач статистики є вивчення окремих властивостей кожної сукупності явища. Для того щоб виявити характерні особливості сукупності, використовують середні величини. Середня величина характеризує всю вагу одиниць сукупності.
В статистиці використовують декілька видів середніх величин. Основними серед них є: середня арифметична, середня гармонічна, середня квадратична і середня геометрична
Середня арифметична – основний вид середніх величин. Буває проста і зважена. Проста – це сума індивідуальних значень варіруємої ознак, що поділена на кількість одиниць сукупності. Зважена – середня із варіантів, що повторюється не однакову кількість раз чи має різну статистичну вагу.
Середня квадратична використовується для оцінки варіації, тобто коли треба оцінити середню варіацію ознаки.Середнє гормонійне і середнє геометричне в даному випадку не знаходимо.
Середня арифметична проста:
=
Хі
/ n
де Хі – індивідуальні значення ознаки;
n ‑ кількість одиниць сукпності.
Середня арифметична зважена.Оскільки сукупність згрупована, а частоти варіантів задані явно, то визначаємо середню арифметичну зважену величину:
;
де Хі – індивідуальні значення ознаки;
mі ‑ кількість однакових варіант.
Структурні середні характеризують структуру варіаціонних рядів. До них відносяться мода і медіана. Вони виражають визначене значення ознаки у ряду розподілу.
Мода – значення ознаки, що найбільш часто повторюється.
Медіаною називається значення ознаки, що знаходиться в середині ранжируємого ряду і поділяє цей ряд на дві рівні частини
Структурні середні
а) визначення моди:
;
де Х0 – нижня границя модального інтервалу;
і – величина інтервалу;
mMo ‑ відносна частота модального інтервалу;
mMo-1 ‑ відносна частота, передуючого модальному, інтервалу;
mMo+1 – відносна частота, наступного після модального, інтервалу.
б) визначення медіани:
де Х0 – нижня границя медіанного інтервалу;
і – величина інтервалу;
mі – загальна сума частот усіх інтервалів;
mе – частота медіанного інтервалу;
Sme-1 – сума частот до медіанного інтервалу.
Крім визначення середніх величин в цьому пункті курсової роботи знаходимо показники варіації. Вони показують коливність ознаки у сукупності. До них відносяться: розмах варіації, середньо лінійні відхилення, середньоквадратичні відхилення і дисперсія
Показники варіації:
а) середньоквадратичне відхилення - показує наскільки в середньому індивідуальне значення відхиляється від середнього, але з врахуванням знаку.
б) дисперсія
Відносні показники варіації(коефіцієнти варіації):
а) лінійний
б) квадратичний
1) Проведемо розрахунок середніх показників та показників варіації за кількісною ознакою – об’єм перевезень, т. Для цього побудуємо структурне групування:
Кількість груп визначимо за формулою:
Г = 1 + 3,332 ln n = 1 + 3,332 lg 23 6
Значення інтервалу визначимо за формулою:
I = (Xmax – Xmin) / Г = (154871-10628)/6 = 24040.5
Таблиця №17
№ |
Об’єм перевезень(Q), т |
Кількість |
1 |
10628 – 34668.5 |
16 |
2 |
34668.5 – 58709 |
4 |
3 |
58709 – 82749.5 |
2 |
4 |
82749.5 – 106790 |
0 |
5 |
106790 – 130830.5 |
0 |
6 |
130830.5-154871 |
1 |
Середні показники:
1) Qсереднє = (22648,25*16+46688,75*4+70729,25*2+142850,75*1)/23 = 36236,4 (т.)
2) Модальним інтервалом є інтервал - (10628 – 34668,5).
МО
= 10628+24040,5
=
24365,4
(т.)
3) Медіанним інтервалом є інтервал
(10628 – 34668,5).
МЕ = 10628 + 24040,5
=
27907,1 (т.)
Показники варіації:
=23636,99(т.)
Квадратичне
відхилення індивідуальних значень
кількісної ознаки від середнього
значення становить 23636,99
т.
=
76028,9 (грн
)
Відхилення індивідуальних значень виручки від середнього значення в квадраті становить 76028,9 грн .
Коефіцієнти варіації:
14,1%
15,7%
2) Проведемо ще один розрахунок середніх показників та показників варіації за кількісною ознакою – кількість перевезених пасажирів.Дані беремо з таблиці структурного групування:
Таблиця №18
№ |
Кількість перевезених пасажирів |
Кількість автобусів |
1 |
4578 – 4908,2 |
6 |
2 |
4908,2 – 5238,4 |
5 |
3 |
5238,4 – 5568,6 |
2 |
4 |
5568,6 – 5898,8 |
4 |
5 |
5898,8 - 6229 |
2 |
Середні показники:
1)
пас=
(4743,1*6+5073,3*5+5403,5*2+5733,7*4+6063,9*2)/19
= 5247,1 (пас.)
2) Модальним інтервалом для кількості перевезених пасажирів є інтервал (4578 – 4908,2).
МО
= 4578+330,2
=
4908,2(пас.)
Модальне значення для кількості перевезених пасажирів є 4908,2 пас..
3) Медіанним інтервалом для кількості перевезених пасажирів є інтервал
(4908,2-5238,4).
МЕ
= 4908,2+330,2
=
5139,3 (пас.)
Медіанне значення для кількості перевезених пасажирів є 5139,3 пас.
Показники варіації:
Rх = 6229 – 4578 = 1651 (пас)
Кількость перевезених пасажирів змінюється на величину 1651 пас.
=
=409,8(пас)
В середньому індивідуальні значення кількісної ознаки ‑ кількості перевезених пасажирів на 409,8 пас. відхиляються від середнього значення.
=
459,1(пас)
Квадратичне відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки ‑ кількості перевезених пасажирів від середнього значення становить 459,1 пас.
=
210772,8 (пас
)
Відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки ‑ кількості перевезених пасажирів від середнього значення в квадраті становить 210772,8 пас .
Коефіцієнти варіації:
