Теорема Жуковского о подъёмной силе.

Если на тело набегает поток невязкой, несжимаемой жидкости, скорость которого на бесконечности равна , а циркуляция скорости вокруг тела равна Г, то возникает подъёмная сила

(22)

п

y

ерпендикулярная к вектору скорости и повёрнутая на 90° относительно в сторону, обратную циркуляции.

1

1

2

2

Рис. 26. К пояснению теоремы Жуковского

Поскольку и - известные показатели режима полета, основная трудность состоит в определении Г для контура (или тела) произвольной формы. Для простых тел, в частности для круглого цилиндра, выражение для циркуляции известно. Рассмотрим сначала симметричное обтекание цилиндра, которое легко наблюдается в гидротрубе. Очевидно, оно имеет симметричный вид (т.е. Г =0).

Представим себе теперь обтекание цилиндра, около которого дополнительный циркуляционный поток. Это можно реализовать на специальной установке (рис. 27.) в которой дополнительный расход подкрашенной жидкости подается из внутренней полости цилиндра на его наружную поверхность по касательной к ней через профилированные щели.

V

Рис. 27. Установка для моделирования несимметричного

обтекания цилиндра.

П ри этом симметрия обтекания цилиндра плоско-параллельным потоком нарушается, критические точки А и В, в которых скорость равна нулю, смещаются вверх или вниз относительно оси X (в зависимости от направления циркуляции) - рис. 28.

A

B

Рис. 28. Суммирование двух потоков циркуляционного и

плоскопараллельного при несимметричном обтекании цилиндра.

Из теории известна величина Г для цилиндра, критические точки которого находятся под углом (см. рис. 28. выше).

(23)

Здесь - радиус цилиндра.

О чевидно, макс. Г будет достигаться при =1, когда совпадут критические точки А и Б. При этом обтекание цилиндра будет иметь вид – рис. 29. B том случае

Рис. 29.

Подставим в выражение для теор. Жуковского значение Г из формулы (23)

(24)

Таким образом, что если создать цилиндрическое крыло и обеспечить (непонятно каким путём) угол , то задача о подъемной силе решена.

Однако, опыт и природа показывают, что для создания подъемной силы больше применимы достаточно тонкие тела, имеющие небольшое сопротивление, типа профиля крыла птицы.

Определение Г для такого тонкого контура можно произвести, взяв за основу выражение Г для цилиндра и использовав конформное преобразование. Последнее позволяет любую функцию, заданную в плоскости комплексного переменного перевести с помощью некоторой аналитической функции можно перевести в плоскость другого комплексного переменного. Например, окружность с центром в начале координат в компл. пл. записывается уравнением: (величина при конформном преобразовании сохраняется)

Уравнение окружности в комплексной форме

y

(25)

r

A

B

x

0

Рис. 30.

Если взять аналитическую функцию конформного преобразования, предложенную Жуковским

(26)

то подставляя (20) в (21) получаем новую комплексную функцию, которая, вследствие условия не содержит комплексных членов, потому в новой компл. плоскости ε-η представляет отрезок вдоль действительной оси ε. Таким образом, окружность превратилась в отрезок прямой, что уже гораздо ближе к принятым формам несущих поверхностей. Критические точки А и В на рис.54 при симметричном обтекании цилиндра соответствует значениям =0° и 180°, при этом, соответствующие критические точки в плоскости ε-η получаются на действительной оси при условии . Таким образом, длина отрезка действительной оси в плоскости ε-η составляет 4r (рис. 23).

(27)

y

r

-2r

2r

x

Рис. 31. Исходный цилиндр и прямолинейный отрезок.

Хорошо известно, что путем смещения центра окружности относительно начала координат можно получить путем конформного преобразования различные контуры, в том числе и тонкий, слабо изогнутый профиль с максимальной толщиной, расположенной в передней части и почти круговыми образующими. Именно так строятся так называемые теоретические профили Жуковоского.

П

y

усть профиль и окружность преобразуются друг в друга как показано

на рис. 32.

0

A

B

A

B

Рис. 32.

Полагаем, что известно преобразование преобразующее окружность в профиль. По теореме Жуковского результирующе подъёмная сила нормальна к набегающему потоку и равна

(28)

Величина циркуляции при полностью потенциальном обтекании (пренебрежем толщиной вытеснения пограничного, слоя и толщиной спутной струи) как показано выше, для цилиндра равна

(29)

Подставляя (29) в (28) получаем

При этом угол между истинным направлением потока и направлением потока, когда подъемная сила равна нулю переходит в угол α+δ,где:

α- угол атаки

δ - эквивалентный угол, и учитывающий подъёмною силу от кривизны.

Сопоставляя эту формулу (принимая в качестве для профиля единичной ширины - рис. 56) с обычной формулой для подъёмной силы,

(30)

Получаем

(31)

Сравнение результатов данной теории с экспериментом приведено на рис. 25. (стр. 78, Эшли).

(32)

п

прямая линия

ри

Рис. 33а.

Рис. 33б.

1,0

теория

x

эксперемент

0