Распространение слабых возмущений в сжимаемой среде. Скорость звука

Принципиальное различие дозвуковых и сверхзвуковых течений объясняется влиянием сжимаемости газа на характер распространения слабых возмущений в сжимаемой среде.

время движения звука

7с

6с

5с

3с

4с

2с

1с

0

x

Рис. 9. Распространение слабых возмущений в сжимаемой среде от точечного источника

Если температура газа не постоянна, то скорость распространения возмущений будет тем больше, чем больше температура газа. В этом случае имеет смысл говорить о местной скорости звука.

Если источник возмущений неподвижен и газ неподвижен и однороден, то волны будут представлять собой концентрические сферы, расходящиеся от источника (рис. 9)

V=

Направление движения

x

V<

x

Рис. 10. Распространение возмущений в сжимаемой среде от точечного источника, движущегося с дозвуковой скоростью относительно среды

Если источник возмущения движется относительно газа (или газ движется относительно источника), то в зависимости от относительной скорости газа и источника возмущений картина распространения волн будет различной. Ниже мы рассмотрим для простоты плоское движение источника звука относительно неподвижного газа.

Возможны три различных случая:

- скорость движения источника меньше скорости звука в газе ;

- скорость движения источника равна скорости звука ;

- скорость движения источника меньше скорости звука .

Вне объема ограниченного этой движущейся поверхностью газ покоится (рис. 2.7). Эта поверхность называется головной волной. Головная волна набегает на неподвижный газ и увлекает его за собой, поэтому на поверхности головной волны параметры газа – плотность, давление, скорость, температура – терпят разрыв.

Направление движения

конус возмущений

x

V >

Рис. 11. Распространение возмущений в сжимаемой среде от точечного источника, движущегося со сверхзвуковой скоростью, относительно среды

Эта коническая поверхность раздела называется поверхностью возмущений (в плоском потоке – линия возмущений, или линия Маха), так как она отделяет возмущенную область газа от невозмущенной.

Так как основные параметры газа возмущенной области и в невозмущенной области газа в общем случае качественно различны, то на поверхности линии раздела они терпят разрыв, т.е. меняются скачком.

P ,V

T ,

P ,V

T ,

M= 1,2 1,8

Ty-144

M=0,9

система

скачков уплотнения

Вместо плавного обтекания

возникает скачкообразное, параметры

потока меняются скачком

P ,V ,T ,

=>

P ,V ,T ,

Рассмотрим секундный расход жидкости, протекающей через два нормальных сечения и произвольной трубки тока (рис. 2.1). По определению трубки тока, боковая поверхность жидкости не пропускает.

Следовательно, исходя из закона сохранения массы и непрерывности сплошной среды, можно записать:

или , (8)

где и - соответственно скорости, нормальные сечениям. Из соотношения (2.1) следует важный вывод: скорости потока в несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений трубки тока. Это означает, что при сужении трубки скорость потока возрастает, при расширении – падает.

Сформулируем закон сохранения энергии для жидкости, движущейся вдоль трубки тока. Рассмотрим для этого сумму механических энергий жидкости в сечениях I и II. Расходы массы жидкости в единицу времени через сечения I и II будут равны между собой:

Рис. 12. К выводу уравнения неразрывности и уравнения Бернулли

Кинематическая энергия массы , движущейся со скоростью , в сечении I будет равна . Аналогично кинематическая энергия той же массы , движущейся со скоростью , в сечении II равна . Потенциальная энергия давления численно равна работе, совершаемой силами давления на пути, пройденном за единицу времени.

Потенциальная энергия давления в сечении I равна , а в сечении II она равна (где и - пути, пройденные в единицу времени и численно равные скоростям).

Так как

то (9)

Это важнейшее уравнение, выражающее закон сохранения механической энергии, называется уравнением Бернулли для несжимаемой невязкой жидкости.

Из уравнения Бернулли следует, что если вдоль трубки тока кинетическая энергия жидкости увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается, и наоборот.

(10)

Уравнение Бернулли в дифференциальной форме