Уравнения движения газа при сверхзвуковых скоростях

Для определения зависимости изменения скорости потока от площади сечения вдоль трубки тока вернемся к уравнению неразрывности (11):

(11)

Используя соотношение, справедливое вдоль трубки тока

,

и заменяя (по определению скорости звука), запишем

, (12)

или

. (13)

Разделим и помножим правую часть выражения (13) на :

,

или (14)

.

Подставим соотношение (14) в уравнение неразрывности (11):

,

или

.

Заменяя числом , получаем:

. (15)

Иначе обстоит дело в сверхзвуковом потоке . В этом случае скобка положительна и приращения и имеют одинаковые знаки. Таким образом, при увеличении площади сечения поток разгоняется, а при уменьшении – тормозится. И наоборот, разгоняясь, сверхзвуковой поток расширяет трубку тока. В этом принципиальное различие дозвуковых и сверхзвуковых потоков. Наконец, в случае, когда , скобка и, следовательно, =0.

Таким образом, поток достигает скорости звука в экстремальном значении сечения. Но так как дозвуковой поток разгоняется при уменьшении площади сечения, то скорости звука он может достигнуть в сечении, где площадь минимальна. Из сказанного выше следует важный практический вывод:

Критическое сечение

I

II

III

IV

V

Рис. 13. Характер течения сжимаемого газа в трубе переменного сечения:

I – дозвуковой поток, скорость постоянная; II – дозвуковой поток сжимается, скорость увеличивается; III – сверхзвуковой поток расширяется, скорость увеличивается; IV – сверхзвуковой поток, скорость постоянна;

V – критическое сечение: скорость потока равна местной скорости звука

Чтобы в трубке переменного сечения достичь сверхзвуковой скорости, необходимо сначала сжать поток, в минимальном сечении получить звуковую скорость, а затем дать потоку расшириться. В расширяющейся части будет получена сверхзвуковая скорость. Труба переменного сечения такого типа называется соплом Лаваля (рис. 13). Сопло Лаваля широко применяется в авиационной технике: в сопловых аппаратах реактивных двигателей, в аэродинамических трубах для получения сверхзвуковых скоростей и т.п.

Взаимодействие между движущимся газом и телом при наличии вязкости

Теоретически учет влияния внутреннего трения приводит к очень сложным уравнениям, которые могут быть решены только в некоторых частных случаях. Поэтому здесь будут рассмотрены лишь качественные результаты экспериментов и приведены теоретические расчеты, позволяющие понять важную роль влияния вязкости газа на характеристики обтекания тел.

Учет влияния сил трения между слоями газа приводит к появлению качественно нового типа течений – вихревых течений. В вихревом течении газа его частицы могут совершать помимо поступательного, вращательное движение. На вращение частиц тратится дополнительная энергия потока, что приводит, как и следовало ожидать, к появлению дополнительного сопротивления тела.

Помимо появления нового типа течений – вихревых течений, влияние вязкости среды приводит к появлению так называемого пограничного слоя, окружающего обтекаемое тело. Наличие пограничного слоя объясняется появлением сил трения между потоком газа и телом. Вследствие трения на поверхности тела скорость частиц равна нулю относительно тела: газ как бы “прилипает” к телу. В узкой области вблизи тела по направлению, перпендикулярному скорости потока, скорость быстро возрастает до скорости набегающего потока и на расстоянии, называемом толщиной пограничного слоя .

зона обратного

течения

V=0

Рис. 14. Профиль скоростей в пограничном слое

Скорость на границе пограничного слоя, становится приблизительно равной скорости набегающего потока и не меняется при удалении от тела. Профиль скоростей в пограничном слое приведен на рис. 14.

Таким образом, наличие сил трения приводит к образованию пограничного слоя вокруг обтекаемого тела, пограничный слой “вытесняет” часть внешнего потока и “раздвигает” его вследствие расширения трубок тока. Это обстоятельство приводит к тому, что тело как бы увеличивает свою “толщину” и свой объем в вязком потоке.

Эта условная величина называется толщиной вытеснения пограничного слоя. Физически она характеризует потерю расхода газа, происходящую в пограничном слое из-за наличия сил трения.

Вязкий газ 1 Невязкий газ 2

Толщина

пограничного слоя

V

V

Область

перехода

Турбулентный

слой

Ламинарный

слой

V

(16)

Рис. 15. Структура потока в пограничном слое

- хорда

- скорость потока

- кинематический коэффициент вязкости

- расстояние от носка профиля

- толщина ламинарного слоя в формуле *)

Ламинарный (что в переводе означает слоистый) пограничный слой – это пограничный слой с плавным изменением профиля скоростей, в котором не происходит перемешивания слоев между собой.

Турбулентным (вихревым) называется пограничный слой, в котором происходит интенсивное перемешивание соседних слоев, профиль скоростей резко меняется во времени и в пространстве, часто имеет нестационарный характер.

Переход ламинарного слоя в турбулентный происходит вследствие потери устойчивости ламинарного течения и зависит от ряда параметров основным из которых является так называемое критическое число Рейнольдса.

В этом слое происходит интенсивное изменение скорости от V =0 на самой поверхности объекта до V=0,99 ( - скорость невозмущенного набегающего потока).

Пограничный слой бывает двух видов ламинарный и турбулентный.

В ламинарном слое (рис. 16) струйки газа текут параллельно друг другу, не пересекаются. Так как они текут параллельно, но с разной скоростью, то силы вязкости (внутреннего трения, молекулярного взаимодействия) действуют только вдоль поверхности струек и относительно малы.

ламинарное

турбулентное

Рис. 16.

В турбулентном слое струйки пересекаются произвольным образом, происходит интенсивное перемешивание потока, возрастает его интегральная скорость и энергия. Вместе с тем растут силы внутреннего трения.

П

оэтому сопротивление трения в ламинарном пограничном слое значительно меньше, чем в турбулентном. Экспериментами доказано, что ламинарный пограничный слой на моделях в АДТ существует до чисел Re порядка (здесь - местное число Rе, см. ниже рис. 17)

модель

натура

Re =10

Re =10

Рис. 17.

Основой для расчёта сопротивления трения является величина коэффициента трения (понятие см. курс физики) . Общепринятые зависимости для , полученные полуэмпирическим путём:

(17)

Модель

Самолет

Re

Рис. 18.

Следовательно, величина сопротивления трения при дозвуковых скоростях, полученная в АДТ более существенно отличается от натуры, поскольку различны не только числа Re, но и длины ламинарного и турбулентного участков (см. рис.18 выше). На сверхзвуковых скоростях ближе к натуре, поскольку ламинарные участки малы и разница только в числах Re. Поэтому для дозвуковых самолётов поправка, связанная с состоянием пограничного слоя и числом Re, может достигать 10-15%,

причём для этого нужно знать длину ламинарного участка на модели

(Для натуры длина ламинарного участка принимается 5%).

Формула для расчёта сопротивления трения:

(18)

- берётся по графику рис. 10 в зависимости от числа Re и соотношения длин ламинарного и турбулентного участков

- коэффициент, учитывающий относительную толщину профиля крыла (рис.19), относительный диаметр фюзеляжа.

крыло

1,5

фюзеляж

1,0

Рис. 19.

Состояние пограничного слоя влияет также на отрыв потока с поверхности тела. Известно, что ламинарный пограничный слой обладает меньшей энергией, чем турбулентный, в частности вследствие меньшей интегральной скорости согласно закону распределения скоростей в пограничном слое (см. рис. 21). Кроме того, эксперименты и теория показывают, что проявление тенденции к отрыву зависит от толщины пограничного слоя любого типа, которая в свою очередь связана с числом Re.

При уменьшении числа Re точка отрыва потока смещается вперед, при этом также уменьшается разрежение в носовой части профиля, что в конечном итоге приводит к потере подъемной и силы (см. рис.20)

Поэтому в данные эксперимента обычно вносят поправку увеличивается на 10-15%, увеличивается на 2-3° - рис. 20.

натура

модель

Рис. 20. Зависимость для модели и натуры

для крыльев дозвуковых самолетов.

y

турбулентное

ламинарное

x

Рис. 21. Распределение скоростей