30. Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера (теорема 50).

Определение. Последовательность называется предсказуемой, если -измеримо при каждом t.

Соглашение: .(F-1=F0)

Пусть - мартингал относительно меры Р. Обозначим . (пропущено =)

Определение. Последовательность (пропущено =), где -предсказуемая последовательность, а - мартингал. Такое преобразование называется мартингальным.

Теорема 50. Пусть ограниченная предсказуемая последовательность, а , где – мартингал относительно меры P, тогда - мартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Действительно, очевидна оценка: ,так как по условию Р - п.н. для ). Отсюда следует, что . (Здесь мы воспользовались тем, что .)

Осталось показать Р - п. н. . Для этого достаточно доказать, что Действительно, для Р - п.н. имеем

. Доказательство закончено.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если Р - п. н. для всех .

Теорема 51 (Дуба - Мейера)?. Пусть - субмартингал, относительно меры Р. Тогда существуют возрастающая предсказуемая последовательность и мартингал такие, что Р - п.н. для любого

, (8)

при этом представление (8) Р-п.н. единственно.

Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что и . Образуем две последовательности:

, (9)

. (10)

Складывая (9), (10) получим: . Нам надо убедиться в том, что - предсказуемый возрастающий процесс, а - мартингал (тем самым мы докажем теорему).

Рассмотрим последовательность . По условию - субмартингал, следовательно Р - п. н. , значит - неубывающая последовательность. Докажем, что -измеримо (т. е. предсказуема). Ясно, что -измеримо, поэтому в силу (10) -измеримо. Заметим, что - мартингал тогда и только тогда, когда

. Из определения следует, что Поэтому

P - п. н..

Предположим, что (8) не единственно, т.е. пусть Р - п. н.

_. Поэтому Р - п. н. . Отсюда следует Р - п. н.

, (11)

. (12)

Вычтем из (11), (12) имеем Р - п. н.

. (13)

Возьмем относительно левой и правой частой (13), имеем Р - п.н.

Так как -измеримо, а - мартингалы, тогда из последнего равенства следует, что

Р - п.н. для любого t . По построению , поэтому - Р - п. н. для любого t. Следовательно, разложение - единственно. Доказательство закончено.

31. Последовательность имеющая ограниченную вариацию. Семимартингалы. Критерий того, что последовательность является семимартингалом (теорема 55).

Определение. Будем говорить, что последовательность имеет ограниченную вариацию, если Р - п. н. .

Определение. Последовательность с ограниченной вариацией назовем случайной последовательностью с интегрируемой вариацией, если .

Из определения следует утверждение.

Теорема 54. Пусть - последовательность с ограниченной вариацией. Тогда существуют две возрастающие последовательности , такие, что Р - п. н. для любого .

Определение. Последовательность называется семимартингалом относительно меры Р, если она Р - п. н. для любого допускает представление

,

где - локальный мартингал относительно меры Р, - процесс ограниченной вариации.

Множество семимартингалов относительно фильтрации и меры Р обозначим через .

Теорема 55. Последовательность является относительно меры Р семимартингалом тогда и только тогда, когда она согласована с потоком .

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Поскольку процесс согласован с потоком , то он имеет ограниченную вариацию. Очевидно, что: i) , где , ii) Так как для любого , то существует Стало быть

, (14)

где такое, что - предсказуемо, а относительно меры Р и потока локальный мартингал. Отсюда следует утверждение теоремы так как имеет ограниченную вариацию. Доказательство закончено.