На лекциях была без доказательства!

48. Остановленный случайный процесс, локализующая последовательность, локальный полумартингал (непрерывное время).

Определение. Случайный процесс называется остановленным если .

Определение. Пусть последовательность марковских моментов такая, что , причём Р -п. н. для и пусть Р - п. н.. Такую последовательность назовём локализующей ( ). Если же , то последовательность назовём локализующей.

Определение. Случайный процесс называется локальным мартингалом , если существует локализующая последовательность марковских моментов такая, что для Р - п. н. .

Аналогичным образом определяются локальные субмартингал и супермартингал.

Теорема 86. Пусть - локальный мартингал относительно меры Р. Тогда - супермартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Так как Р — п.н. для , где - локализующая последовательность, то в силу леммы Фату . Доказательство закончено.

49. Классификация марковских моментов опциональные, предсказуемые.

Определение. Марковский момент называется предсказуемым, если существует последовательность марковских моментов такая, что: а) Р - п. н., б) Р - п. н., при этом последовательность называют предвещающей марковский момент .

Пример. Пусть момент остановки, а . Ясно, что момент остановки, более того предсказуемый момент остановки, так как предвещает последовательность , где

Определение. Марковский момент называют достижимым, если существует предсказуемая последовательность марковских моментов таких, что Р - п. н., т. е.

Определение. Марковский момент называется недостижимым (вполне или тотально недостижимым) или опциональным, если для каждого предсказуемого момента остановки Р - п. н. .

Теорема 87. Марковский момент - опционален тогда и только тогда, когда существует последовательность моментов остановки такая, что: а) Р - п. н. для , б) Р - п. н..

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 88. Пусть — опциональный марковский момент. Тогда для любой предсказуемой последовательности марковских моментов

Задача. Докажите, что момент времени в который происходит первый скачок пуассоновского процесса является опциональным марковским моментом.

Теорема 89. Пусть где , и стохастические интервал вида , где - опциональные марковские моменты, порождают алгебру .

Доказательство. Сначала заметим, что - это предсказуемый момент остановки равный нулю на и бесконечности на . Значит . Очевидно, что . Заметим, что предсказуемым м. о., поэтому , следовательно .

Рассмотрим интервал , где - предсказуемый м.о. Нам надо показать, что этот интервал принадлежит алгебре порождённой выше рассмотренными интервалами. Действительно, поскольку , а для последовательностей , предвещающей на множестве , имеем Отсюда следует утверждение теоремы.

50. Классификация потоков σ-алгебр: предсказуемая, оптимальная (теорема 90). Классификация случайных процессов. Докажите, что предсказуемая σ-алгебра порождена всеми непрерывными слева случайными процессами (теорема 91).

Пусть имеется стохастический базис .

Определение. Опциональной (предсказуемой) алгеброй, обозначается через называется алгебра, порождаемая стохастическими интервалами вида где — опциональный (предсказуемый) момент остановки.

Из определения следует следующее утверждение.

Теорема 90(?????). .

Определение. Случайный процесс со значениями в называется опциональным (предсказуемым), если отображение измеримо относительно алгебры на .

Теорема 91. Предсказуемая алгебра порождена всеми непрерывными слева согласованными процессами.

Доказательство. Из теоремы 18 следует, что порождена всеми процессами вида , где и , где — любые опциональные марковские моменты, причём Р - п. н. . Ясно, что эти процессы непрерывны слева и согласованы. По­этому для доказательства теоремы достаточно доказать, что каждый непрерывный слева согласованный процесс является предсказуемым. Обозначим . Процесс - предсказуем и непрерывен слева и поэтому Р - п. н. Значит - предсказуемый процесс. Доказательство закончено.

Теорема 92. Опциональная алгебра порождена всеми согласованными процессами, непрерывными справа и имеющими предел слева.

Доказательство. Опциональная алгебра порождена процессами вида , где - любые опциональные марковские моменты, причём , которые являются согласованными, непрерывными справа и имеющие левый предел. Поэтому нам осталось доказать, что каждый согласованный, непрерывный справа и имеющий предел слева процесс - опционален.

Пусть - случайный процесс являющийся таковым. Для каждого, целого положительного числа построим возрастающую последовательность моментов остановки следующим образом: для всех , причём если это множество пустое, то полагаем, что . В силу теоремы - прогрессивно измерим, поэтому тоже прогрессивно измерим. Значит , где прогрессивно измерим. Заметим теперь, что - м. о., поэтому из непрерывности справа процесса получаем, что Р - п. н. на множестве (попутно заметим, что непрерывность слева эквивалентна тому, что для Р - п. н.). Обозначим для Процесс - опционален, поскольку он представляет собой сумму счётного числа опциональных процессов. Устремляя теперь получим, что из непрерывности справа Р - п. н., т. е. -опциональный процесс. Доказательство закончено.

Теорема 93. Если процесс - опционален, то множество - тонкое (для ).

Доказательство. Пусть и по индукции определим Очевидно, что если , то для любых фиксированных . Ясно, что процесс - непрерывен справа и согласован, a - момент остановки. Заметим теперь, что множество Поэтому где также является моментом остановки. Заметим, что из опциональности процесса следует, что Р - п. н. при . Поэтому . Доказательство закончено.