12. Лемма Фату(теорема 16), теорема Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 17). Равномерно интегрируемое семейство случайных величин. Критерий равномерной интегрируемости(теорема 19).
Теорема 20(Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если
то
;
б) если
,
то
,
в)
если
,то
.
Доказательство.
а) Пусть
.
Тогда
=
.
Ясно, что
и
для всех
.
Тогда по теореме 18 имеем
М
М
М
.
Таким образом а) –доказано.
Утверждения б) и в) доказываются аналогично.
Теорема
17 (Лебега о мажорируемой сходимости).
Пусть
случайные
величины такие, что P
– п.н.
и
Тогда 1)
,
2)
при
.
Доказательство.
По условию
Р- п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы
Фату и по свойству G)
математических ожиданий имеем М
М
.
Таким образом первое утверждение
установлено, так как из неравенства
следует, что
.
Утверждение
2) доказывается также, если заметить,
что
.
Определение. Семейство случайных
величин
называется интегрируемым (р.и.), если
когда
или
.
Очевидно, что если последовательность
такая, что
и
,
то семейство
- р.и.. Приведем критерий равномерной
интегрируемости последовательности
.
Теорема 19. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:
i) для любого
существует такое
,
что
и
;
ii)
.
Доказательство. Для любой положительной
случайной величины
,
множества
и всех
справедливо неравенство
+
.
Отсюда вытекает, что
+
(4)
Необходимость
условия i) следует из (4),
если в нем положить что
и Р(А)
.
Условие ii) следует из (4),
если в нем положить
.
Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины справедливо неравенство
М
. (5)
Если выполнено ii), то в силу (5) имеем
.
Если
выполнено i), то возьмем
такое, что
для любых
.
Тогда
для всех
.
Стало быть семейство
-равномерно интегрируемо. Доказательство
закончено.
Предложение.
Семейство случайных величин
равномерно интегрируемо тогда и только
тогда, когда
.
Доказательство.
Необходимость очевидна, так как
.
Достаточность.
Обозначим р(с)
.
Очевидно, что
р(с)
= 0. Заметим, что:
1)
для всех с, поэтому
;
2)
. (6)
Пусть
и выберем c таким, что
р(c)
,
а
таким, что
.
Тогда в силу (6)
для любого n. Значит
семейство равномерно интегрируемо.
Доказательство закончено.
13. Достаточное условие равномерной интегрируемости (теорема 20). Докажите: если семейство {ξ n}n≥1 – равномерно интегрируемо, то М| ξ n |<∞ (теорема 21).
Теорема 20. Пусть
- последовательность интегрируемых
случайных величин, а
- возрастающая функция такая, что
и
.
Тогда семейство
-
равномерно интегрируемо.
Доказательство.
Пусть
.
Выберем для
число
большим таким, что
.
Тогда
равномерно по n.
Доказательство закончено.
Теорема 21. Пусть семейство случайных
величин
- равномерно интегрируемо. Тогда
Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22
(Следствие 22. Пусть выполнены условия
теоремы Лебега о мажорируемой сходимости
и
для
р>1. Тогда
и
.)
для любого конечного
=
+
.
Доказательство закончено.