40. Определение случайного процесса. Прогрессивно измеримый процесс. Достаточные условия существования прогрессивно измеримого процесса (теорема 76)

Пусть - измеримое пространство.

Определение. Пусть , а - семейство на -алгебре на . Семейства назовем потоком -алгебр или фильтрацией, если для при и .

Замечание. Фильтрация описывает историю некоторого явления, и называют -алгеброй событий предшествующих моменту времени t.

Определение. Будем говорить, что поток -алгебр непрерывен справа, если .

Определение. Пусть имеется два измеримых пространства и . Случайным процессом с непрерывным временем, определенным на со значениями в называется семейство случайных элементов со значениями в E. Пространство будем называть пространством элементарных исходов, а E - пространством состояний.

Для значение называется состоянием случайного процесса в момент времени . Для фиксированного множество называется траекторией или реализацией случайного процесса.

Определение. Случайный процесс называется согласованным с фильтрацией , если при каждом он -измерим, для него будем использовать обозначение .

Определение. - вероятностное пространство с фильтрацией называется стохастическим базисом, если - непрерывно справа и для него будем использовать обозначение .

Соглашение: будем полагать везде ниже, что стохастический базис полный, т.е. -алгебра F и фильтрация (для ) пополнены множествами нулевой меры P.

Определение. Случайный процесс называется измеримым, если отображение измеримо относительно -алгебры .

Определение. Случайный процесс называется прогрессивно измеримым, если отображение измеримо относительно .

Замечание. Отметим, что всякий прогрессивно измеримый процесс является согласованным. Обратное утверждение неверно. Однако верно следующее утверждение.

Теорема 76. Пусть - согласованный процесс и Е - польское пространство. Тогда - прогрессивно измерим.

Доказательство. Для рассмотрим диадическое разбиение отрезка , т. е. разбиение на равных интервала, где . Для , положим . Очевидно, что - измеримое отображение из относительно -алгебры . Устремляя получаем, что отображение является измеримым относительно -алгебры при каждом ._.

41. Модификация случайного процесса. Стохастически непрерывный случайный процесс. Случайный процесс непрерывный в среднем порядка p. Докажите, что если случайный процесс непрерывен в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен (теорема 77).

Определение. Пусть и - два случайных процесса, определенных на . Процесс называется модификацией процесса , если для каждого Р - п. н.

Определение. Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева) в точке , если для любого ( ).

Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева), если он стохастически непрерывен справа (слева) в любой точке .

Определение. Если , то будем говорить, что процесс принадлежит классу .

Определение. Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка в точке t, если . Процесс непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, если он непрерывен справа (слева) в среднем порядка p, в каждой точке .

Теорема 77. Если процесс - непрерывен справа (слева) в точке t в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен справа (слева) в точке t.

Доказательство следует из неравенства Чебышева. Действительно пусть любое , имеем . Переходя к пределу при получаем утверждение теоремы.