6. Задание вероятностной меры на (rт,b(rт)). Теорема Колмогорова (теорема 8 – без доказательства)

Измеримое пространство (R^Т , (R^Т))

Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов R_t - числовая прямая, соответствующая индексу . Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор различных индексов , и пусть P_ - вероятностная мера на (R ,(R )), где R = R R .

Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер ( - пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов и причем , выполняется равенство

,

где , б) выполнено (1).

Теорема 8. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на

(R^Т ,(R^Т))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R ,(R )). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (R^Т ,(R^Т)) такая, что для всех неупорядоченных наборов различных индексов и (R ).

7. Определение случайной величины. Примеры. Разбиение. Дискретная(простая) случайная величина. Распределение вероятностей случайной величины.

Пусть ( ,F) и (R¹,(R¹)) - измеримые пространства.

Определение. Действительная функция определенная ( ,F), принимающая значения в R¹ называется F – измеримой или случайной величиной, если: (R¹) F (то есть, прообраз является измеримым множеством в ).

Если =(Rⁿ,(Rⁿ)), то (Rⁿ) – измеримые функции называются борелевскими.

Простейшим примером случайной величины является

Определение. Случайная величина представимая в виде

(2)

где F называется дискретной. Если число слагаемых в сумме в (2) конечно, то случайная величина называется простой.

Замечание. Случайная величина это некоторая характеристика эксперимента, результаты которого зависят от случая . Требование измеримости важно. Действительно, если на ( ,F) задана вероятностная мера Р и , то в этом случае можно говорить о вероятности события, состоящего в том, что значение случайной величины принадлежит борелевскому множеству В.

Определение. Вероятностная мера на (R,(R)) с , (R¹), называется распределением вероятностей случайной величины на (R,(R)).

Определение. Функция Р , где R¹, называется функцией распределения случайной величины .

8. Классификация случайных величин. Свойства случайных величин (лемма 9, 10, теорема 11). Расширенная случайная величина. Теорема Бореля (теорема 12)

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если , R¹.

Вопрос: Когда функция обозначаемая является случайной величиной? Для этого надо проверить условие F для любого (R¹).

Лемма 9. Пусть  – некоторая система множеств такая, что ()=(R¹). Для того, чтобы была F - измеримой необходимо и достаточно, чтобы F для всех .

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть  – система борелевских множеств , для которых F. Известно, что:

i) , ii) , iii) = .

Отсюда следует, что система  – является -алгеброй, значит  (R¹) и () , следовательно =(R¹).

Лемма 10. Пусть : R¹ R¹ - борелевская функция, а - случайная величина. Тогда сложная функция (то есть ) - случайная величина.

Доказательство. Действительно

,

так как (R¹), (R¹).

Доказательство закончено.

Определение. Функция на ( ,F) со значениями в = называется расширенной случайной величиной, если: для (R¹) F.

Теорема 11. 1) Для любой случайной величины найдется последовательность простых случайных величин таких, что и при для всех .